Schnittkarte, die zur Poincaré-Dualität führt
Lassen $M$ ein glatt triangulierter Kompakt sein $d$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Betrachten Sie den Subkomplex$C_*^{\pitchfork T}(M)$von glatten singulären Ketten, die quer zur Triangulation sind. Eine induktive Kettenhomotopiekonstruktion stellt fest, dass diese für alle glatten und damit alle singulären Ketten quasi-isomorph sind.
Definieren Sie die Schnittpunktkarte $I : C_n^{\pitchfork T}(M; R) \to C^{d-n}_\Delta(M; R)$ (Letzteres sind einfache Cochains, die sich aus der Triangulation ergeben) durch Senden $\sigma : \Delta^d \to M$ zu der Cochain, deren Wert auf einem Element der Triangulation liegt, dessen charakteristische Karte ist $\iota : \Delta^{d-n} \to M$ ist die Zählung des Nullverteilers, die durch das Zurückziehen von gegeben ist $\sigma$ und $\iota$. Auch hier$R$ ist $\mathbb{Z}/2$ oder $M$muss orientiert sein und die Zählung erfolgt mit den üblichen Vorzeichen, und man verwendet eine Version (wie diese ) der Transversalität für Verteiler mit Ecken.
Unterhaltsame Übung: mit entsprechenden Zeichen, $I$ist eine Karte von Kettenkomplexen. (Hinweis: Wie im Beweis, dass der Grad, der durch Zählen von Vorbildern definiert wird, homotopie-invariant ist, beruht dies auf der Klassifizierung von Ein-Mannigfaltigkeiten.) Die Poincaré-Dualität impliziert, dass die Domäne und der Bereich von$I$ sind quasi-isomorph.
Frage: warum ist $I$ ein Quasi-Isomorphismus?
Ich denke, ich kann dies beweisen, aber nur in der Mod-Two-Umgebung, indem ich Thoms wegweisende Arbeit zum Bordismus und Quillens elementaren Ansatz zum Cobordismus verwende (nur die Definitionen seines "elementaren" Papiers - nicht die Hauptergebnisse, die für mich ganz sind tief trotz des Titels des Papiers). Aber es muss ein direkteres Argument geben, das auch den orientierten Fall abdeckt, und es scheint, dass dies irgendwo in der Literatur stehen sollte - vielleicht aus den 1940er Jahren?
(Motivation: Greg Friedman, Anibal Medina und ich haben unserer Meinung nach einen neuen Ansatz für Fragen wie Wissen Ketten und Cochains über Vektorfeldflüsse dasselbe über die Mannigfaltigkeit und möchten auf dem vorhandenen Wissen über das Zusammenspiel aufbauen zwischen Schnittmenge und Dualität.)
Antworten
In einem verwandten und hochrelevanten Kommentarthread hat Mike Miller mich auf diesen Vorabdruck von Lipyanskiy hingewiesen. Ich bin mir sicher, dass es Argumente gibt, die funktionieren, wie das, was Joshua und Dmitri und ich in den Kommentaren diskutieren. Aber bevor ich es vergesse, möchte ich auf Lipyanskiys Arbeit verweisen, insbesondere auf Abschnitt 12, und die Frage als beantwortet markieren.