Sind alle Produkttopologien / Räume über reellen Zahlen euklidische Räume?

Question

Bis heute, als ich an "reelle Zahlen" dachte, dachte ich nur an die reine Menge reeller Zahlen. Es scheint, dass ich mich geirrt habe, da dies der satztheoretische Baire-Raum zu sein scheint . Stattdessen scheinen reelle Zahlen die Menge zu sein und was Sie damit machen können, nämlich ihre Feldoperationen (Addition und Multiplikation, ihre algebraischen Inversen, nämlich Subtraktion und Division, und alle Regeln bezüglich Assoziativität, Kommutativität usw.) und Ordnung. Die reellen Zahlen können also wie folgt geschrieben werden$(R, +, \cdot, <)$. Normalerweise schreiben wir sie als$\mathbb R$ aber und wissen, dass wir diese Dinge mit den reellen Zahlen machen können.

Als nächstes können wir einen Produktraum (nicht den inneren Produktraum!) Erstellen , der

ist das kartesische Produkt einer Familie topologischer Räume, die mit einer natürlichen Topologie ausgestattet sind, die als Produktraum bezeichnet wird.

von einer endlichen Zahl ($n\in\mathbb N$) von reellen Zahlen, die wäre $\mathbb R^n$. Ein paar Leute in Wie schreibe ich einen euklidischen Raum mit Symbolen formell auf? Geben Sie an, dass$\mathbb R^n$ist schon der euklidische Raum. Mit anderen Worten, jeder endlich dimensionale Produktraum der reellen Zahlen ist ein euklidischer Raum.

Aber ich sehe nicht, was das sein soll. Für einen euklidischen Raum würde ich auch das brauchen

• Vollständigkeit
• lineare Kombination
• Euklidischer Abstand als Metrik,
• Euklidische Norm
• das "normale" Punktprodukt

Jetzt scheint es mir so

• Die Vollständigkeit wird von jedem Produktraum über die reellen Zahlen von der Vollständigkeit der reellen Zahlen geerbt
• Die lineare Kombination kann unter Verwendung des direkten Produkts abgeleitet werden . Auch wenn ich nicht sicher bin, ob das direkte Produkt immer für Produkttopologien impliziert ist!
• Der euklidische Abstand wird durch die euklidische Norm induziert
• Die euklidische Norm wird durch das "normale" Punktprodukt oder laut JWTanner in Wie schreibe ich einen euklidischen Raum mit Symbolen formal auf? wird das Punktprodukt durch die euklidische Norm induziert. Einer von ihnen muss jedoch von einem anderen Ort abgeleitet sein.

Es scheint mir also, dass viele der Eigenschaften des euklidischen Raums Eigenschaften sind, die jeder Produktraum über den realen Werten hat. Ich verstehe jedoch nicht, warum für jeden Produktraum über den realen Werten unbedingt das Punktprodukt definiert sein sollte, das als euklidischer Raum definiert ist. Zum Beispiel könnte ich ein anderes inneres Produkt verwenden, das nicht das euklidische Punktprodukt ist, ohne dass das Punktprodukt induziert wird

Sind also alle Produkträume über reellen Zahlen euklidische Räume? Wenn ja, wie wird das Punktprodukt notwendigerweise induziert?

Answer 1

Ich verstehe Ihren Kommentar zum Baire-Raum nicht.

Zum Beispiel könnte ich ein anderes inneres Produkt verwenden, das nicht das euklidische Punktprodukt ist

Ja das stimmt. Was Sie lernen, ist das "$\mathbb{R}^n$"ist eigentlich eine extrem mehrdeutige Notation: Je nach Kontext kann sie sich auf eine von beziehen

• ein Satz
• ein topologischer Raum (herkömmlicherweise mit der euklidischen Topologie)
• ein glatter Verteiler (herkömmlicherweise mit der "üblichen" glatten Struktur)
• ein metrischer Raum (üblicherweise die euklidische Metrik)
• ein Vektorraum über$\mathbb{R}$
• ein normierter Vektorraum (üblicherweise die euklidische Norm)
• ein innerer Produktraum (üblicherweise das diagonale innere Produkt$\sum_{i=1}^n x_i y_i$)
• ein Kommutativ$\mathbb{R}$-Algebra (mit punktweiser Multiplikation); Dies ist wahrscheinlich die am wenigsten verbreitete Option.

Dies ist Teil einer Standardkonvention in der Mathematik, die sich auf eine strukturierte Menge bezieht, die nur die zugrunde liegende Menge (auch als Trägersatz bezeichnet ) verwendet, ohne den Rest der Struktur explizit zu benennen. Dies dient der Bequemlichkeit; Meistens wäre es zu nervig, dies zu tun, und meistens verstehen die Leute sowieso, was Sie aus dem Kontext meinen.

Ich verstehe jedoch nicht, warum für jeden Produktraum über den realen Werten unbedingt das Punktprodukt definiert sein sollte, das als euklidischer Raum definiert ist.

Es ist nicht nötig; Es ist eine Konvention, dass, wenn jemand "den inneren Produktraum" sagt$\mathbb{R}^n$"Ohne weitere Ausarbeitung beziehen sie sich speziell auf das oben definierte diagonale innere Produkt. Diese Konvention ist relativ harmlos, da unter anderem alle inneren Produkte eingeschaltet sind $\mathbb{R}^n$ (hier meine ich $\mathbb{R}^n$ Der reale Vektorraum!) wird durch eine lineare Änderung der Koordinaten in Beziehung gesetzt. Es spielt also keine Rolle, welchen Sie auswählen, und der diagonale ist maximal einfach zu berechnen.

Answer 2

Nehmen wir an, wir haben ein inneres Produkt $\langle \cdot, \cdot \rangle$ auf $\mathbb{R}^n$. Wir können dann den Graham-Schmidt-Prozess verwenden, um eine orthonormale Basis zu finden$\{v_1, \dots, v_n\}$ von $\mathbb{R}^n$in Bezug auf dieses innere Produkt. Dann wenn$v = \sum x_iv_i$ und $w = \sum y_i v_i$, dann finden wir das an den bilinearen Eigenschaften des inneren Produkts $$\langle v, w \rangle = \sum_{i = 1}^n \sum_{i = 1}^n x_i y_j \langle v_i, v_j \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i y_i \langle v_i, v_i \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i y_i = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} $$ schon seit $\langle v_i , v_j \rangle$ ist $1$ wenn $i = j$ und $0$ wenn $i \neq j$. Deshalb weichen innere Produkte Punktprodukten im üblichen Sinne.

Bei linearen Kombinationen muss man etwas vorsichtig sein. Normalerweise funktionieren die Dinge mit Produkten von Vektorräumen ziemlich gut, aber sie werden etwas seltsam, wenn die Dimension unendlich ist (dh es gibt keine Basis).

Answer 3

$\mathbb R$ist eine Menge Dinge. Im einfachsten Fall handelt es sich nur um ein Set, aber es gibt viele zusätzliche Strukturen, die Sie an das zu erstellende Basisset anheften können$\mathbb R$ein mathematisches Objekt einer anderen Kategorie , wie eine geordnete Menge, eine Gruppe, ein Feld, ein Vektorraum, ein metrischer Raum, ein topologischer Raum, eine glatte Mannigfaltigkeit oder eine algebraische Variante, um nur einige zu nennen. Da es normalerweise nur einen einzigen vernünftigen / gemeinsamen Weg gibt, dies zu tun, und da normalerweise aus dem Kontext ersichtlich ist, auf welche Art von Objekt man sich bezieht, werden die resultierenden Objekte auch nur aufgerufen$\mathbb R$. Beachten Sie, dass sich alle diese Objekte in der zusätzlichen Struktur unterscheiden, die sie erhalten.

In etwas geringerem Umfang gilt dies auch für $\mathbb R^n$: Es ist (normalerweise) das n-fache Produkt von $\mathbb R$ mit sich selbst in der Kategorie, die wir gerade betrachten, ob es sich um Mengen, Vektorräume, topologische Räume oder viele andere Dinge handelt.

Sie sprechen also von einem euklidischen Raum, der selbst ein Name ist, den verschiedene Objekttypen gemeinsam haben: Wenn Sie "euklidischen Raum" ohne Kontext sagen, können Sie beispielsweise einen metrischen Raum, eine metrische Inzidenzgeometrie oder eine Riemannsche Mannigfaltigkeit meinen .

Mal sehen wie $\mathbb R^n$ist ein metrischer Raum. Ein metrischer Raum ist nur eine Menge X mit einer Funktion$d : X \times X \to [0,\infty)$das erfüllt die Eigenschaften einer Distanzfunktion (Symmetrie, Positivität, Dreiecksungleichung). Wir kennen das Set, es ist das übliche kartesische Produkt. Definieren wir nun die Distanzfunktion:

$$d \colon \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to [0, \infty)\\$$ $$d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \ldots + (x_n - y_n)^2}$$

Einfach genug. Hier rechnen wir mit reellen Zahlen, die wir aus der üblichen Struktur von entlehnen$\mathbb R$ als geordnetes Feld, und wir können die Theorie von verwenden $\mathbb R$ als geordnetes Feld, um zu beweisen, dass diese Definition tatsächlich die eines metrischen Raums erfüllt.

Die Definitionen der anderen Bedeutungen des "euklidischen Raums" sind sehr unterschiedlich, da sie eine andere Art zusätzlicher Struktur erfordern. Es stellt sich jedoch heraus, dass diese Strukturen sehr ähnlich sind, da Sie jeden Strukturtyp mit nur einem anderen Strukturtyp rekonstruieren können.

Lassen Sie uns nun ein wenig über kartesische Produkte sprechen. In verschiedenen Kategorien ist es möglich, einen Prozess zu definieren, der zwei Objekte dieser Kategorie nimmt und auf kanonische und sinnvolle Weise ein neues Objekt dieser Kategorie definiert, dessen Basissatz genau das kartesische Produkt der Basissätze der beiden Eingabeobjekte ist . Das Produkt zweier Mengen ist eine Menge, das Produkt zweier topologischer Räume ist ein topologischer Raum, das Produkt zweier metrischer Räume ist ein weiterer metrischer Raum.

Konkretes Beispiel in einer anderen Kategorie, diesmal die Kategorie der inneren Produkträume: gegeben zwei innere Produkträume $X$ und $Y$mit inneren Produkten $g_x$ und $g_y$ jeweils können wir ihr kartesisches Produkt so definieren:

Ein innerer Produktraum ist ein Vektorraum mit einem Punktprodukt. Für den Vektorraum wählen wir$X \times Y$ (Dies ist nur ein Produkt von Vektorräumen), und wir können ein inneres Produkt definieren $g$ darauf wie folgt:

$$g((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = g_x(x_1, x_2) + g_y(y_1, y_2).$$

Sie können überprüfen, ob dieser neue Raum der Definition eines inneren Produktraums entspricht. In der Tat ist es unter Verwendung dieser Produktdefinition nun tatsächlich eine mathematisch beweisbare Aussage, dass$\mathbb R^n \times \mathbb R^m \cong \mathbb R^{n+m}$, bei dem die $\cong$bedeutet, dass diese beiden Objekte möglicherweise unterschiedlich definiert sind, aber innerhalb der Kategorie nicht zu unterscheiden sind. Es ist tatsächlich so$\mathbb R^n \times \mathbb R^m \cong \mathbb R^{n+m}$ in fast jeder Kategorie, in der Sie beides haben $\mathbb R^n$ und $\times$und in anderen Kategorien erfüllen sie immer noch eine schwächere Form der Äquivalenz.

Abschließend: Es gibt viele Dinge, die genannt werden $\mathbb R$, viele Dinge genannt $\mathbb R^n$, viele Dinge genannt $\times$, weil sie in verschiedenen Kategorien liegen. Um eine Riemannschen Mannigfaltigkeit genannt$\mathbb R^n$Es reicht nicht aus, das Produkt von zu nehmen $n$Kopien des aufgerufenen Sets$\mathbb R$oder das geordnete Feld aufgerufen$\mathbb R$, aber Sie müssen tatsächlich das Produkt von nehmen $n$Kopien der Riemannschen Mannigfaltigkeit genannt$\mathbb R$.

Answer 4

1. Euklidische affine Räume

Ein euklidischer Raum, $E$bezieht sich auf einen affinen Raum; Denken Sie an Punkte und Koordinaten. Wir haben eine euklidische Distanz, die durch den Satz von Pythagoras bestimmt wird. Die euklidische Distanz,$d$mit dem Raum $E$ macht den metrischen Raum $(E,d)$

1. Euklidische Vektorräume $(+,-,*)$

Diese unterscheiden sich von euklidischen Räumen darin, dass wir keine Punkte mehr verwenden. Diese beiden Konzepte werden häufig zusammen verwendet, und es ist leicht zu vergessen, dass es sich tatsächlich um zwei verschiedene Strukturen handelt.

Der n-dimensionale euklidische Vektorraum, $\overrightarrow{E}$ist ein innerer Produktraum. Wir haben eine Vektoraddition, ein inneres Produkt und und die euklidische Norm ist analog zu dem Abstand zwischen zwei Punkten, wie für definiert$E$. Die euklidische Norm ist eindeutig eine Metrik für unseren Vektorraum.$\overrightarrow{E}$ ist fast identisch mit $\mathbb{R^n}$Warum unterscheiden wir die beiden?

1. Koordinate Räume von reellen Zahlen / Affine reelle Räume

Wenn wir den realen Vektorraum erwähnen $\mathbb{R}^n$Wir beziehen uns tatsächlich auf einen n-dimensionalen euklidischen Vektorraum mit den Eigenschaften eines affinen Raums. Sobald wir ein Koordinatensystem zuweisen$\mathbb{R}^n$Wir haben einen "Koordinatenraum". Das kartesische Koordinatensystem ist sicherlich das bekannteste, um einen solchen Raum zu beeindrucken, aber ich bin sicher, dass Sie sich einige andere interessante vorstellen können.