Tensorprodukt finden [Duplikat]

Jan 07 2021

Lassen $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

Ist $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$? Ich glaube, das ist wahr, aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll.

Bitte helfen Sie mir mit einer Idee / einem Hinweis.

Danke im Voraus.

Antworten

2 QiaochuYuan Jan 07 2021 at 01:38

Ist es falsch. Es gibt eine natürliche Karte

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

Das ist injektiv, aber nicht surjektiv. Sein Bild besteht aus dem Unterraum von$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ Bestehend aus Sequenzen, deren Nenner begrenzt sind oder äquivalent, die unter einen gemeinsamen Nenner gestellt werden können (im Grunde genommen, weil durch Tensoring $\mathbb{Q}$ Sie können nur eine ganze ganzzahlige Sequenz durch einen gemeinsamen Nenner teilen und enthalten beispielsweise nicht die Sequenz $n \mapsto \frac{1}{n}$.

(Andererseits sind diese Gruppen abstrakt isomorph, weil sie beide Vektorräume über sind $\mathbb{Q}$von Kontinuumsdimension. Siehe diese math.SE-Antwort, die im Grunde dasselbe sagt.)

Im Allgemeinen wird garantiert, dass das Tensorprodukt nur endliche Produkte konserviert. Sie können zeigen, dass beim Tensoring mit einem Modul unendliche Produkte erhalten bleiben, wenn es endlich präsentiert wird (welche$\mathbb{Q}$ist nicht); siehe diese math.SE Antwort .