$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, Kennlinienverfahren zur Verkehrsflussgleichung mit Riemann-Anfangsdaten

Jan 08 2021

Wir betrachten die nichterhaltende Gleichung$$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$wo$a$ist eine Konstante und$f(u)=u(1-u)$.

Ich versuche, diese Gleichung durch die Methode der Eigenschaften mit der Anfangsbedingung zu lösen$$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$Nach der Methode der Merkmale habe ich$\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, dies bedeutet, dass die Kennliniengleichung lautet$$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$zusammen mit$\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$

Beim Lösen dieser Gleichungen erreichte ich bis zu$u(x,t)=ax+ g(t)$wo$g$ist eine Funktion von$t$allein. Ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Ich konnte das lösen, als wir die Gleichung hatten$$u_t+(f(u))_x=0$$wie dort$u$entlang der Merkmalslinie konstant war. Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe.

Antworten

3 EditPiAf Jan 09 2021 at 22:39

Beachten Sie, dass die Anfangsdaten$u(x,0)$besteht aus einer Sprungstelle aus$u_l$zu$u_r$, also ist dieses Anfangswertproblem ein Riemann-Problem . Das beliebte Verkehrsflussmodell Lighthill-Witham-Richards (LWR) wird wiederhergestellt, wenn$a=0$, und die entsprechende Riemann - Lösung wird in diesem Beitrag beschrieben . Gehen wir den Fall der Willkür an$a$, zB indem Sie einem ähnlichen Ansatz wie in diesem Beitrag folgen . Einstellung$v = 1 - 2u$liefert die PDE$$ v_t + vv_x = -2av $$für die die Methode der Merkmale ergibt$v = c_1e^{-2at}$,$\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$und$$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$was der Lösung entspricht, die in der Antwort von @Dmoreno gefunden wurde. Für diskontinuierliche Anfangsdaten ist die Merkmalsmethode jedoch nicht ausreichend (sie gilt nur dort, wo$u$ist glatt). Daher verwenden wir geeignete Methoden zur Lösung dieses Problems im schwachen Sinne, siehe verwandten Beitrag . Hier finden wir die Stoßwellenlösung$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$wenn$v_l > v_r$, und die Verdünnungswellenlösung$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$wenn$v_l < v_r$. Man könnte das mit der gleichen Lösung überprüfen$u = \frac{1-v}2$wird erhalten, indem das anfängliche PDE-Problem direkt angegangen wird (ohne Variablen zu ändern).

1 Dmoreno Jan 08 2021 at 18:21

Von$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$du erhältst$u - ax = c_1$, und von$a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$Sie erhalten$u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. Lassen$c_2 = f(c_1)$um eine implizite Lösung für abzuleiten$u$, bestimmt durch die Gleichung

$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$

Jetzt gilt es, festzustellen$f$aus der Anfangsbedingung und schließlich lösen für$u$. Kannst du es von hier nehmen?