Um einen invarianten Trivektor in Dimension 8 geometrisch zu beschreiben
$\newcommand\Alt{\bigwedge\nolimits}$Lassen $G=\operatorname{SL}(2,\Bbb C)$, und lass $R$ bezeichnen die natürliche zweidimensionale Darstellung von $G$ im ${\Bbb C}^2$. Für eine ganze Zahl$p\ge 0$, schreiben $R_p=S^p R$;; dann$R_1=R$ und $\dim R_p=p+1$.
Unter Verwendung von Tabelle 5 im Buch von Onishchik und Vinberg berechnete ich, dass die Darstellung $$ R_2\otimes\Alt^2 R_4 $$enthält die triviale Darstellung mit der Multiplizität eins. Ich habe den Tisch als Black Box benutzt.
Frage. Lassen$V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4$bezeichnen den entsprechenden eindimensionalen Unterraum. Wie kann man beschreiben$V$als Unterraum geometrisch ?
Motivation: Ich möchte a$\operatorname{PGL}(2,k)$-fixierter Trivector $$v\in V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4\subset \Alt^3(R_2\oplus R_4)$$ des 8-dimensionalen Vektorraums $W=R_2\oplus R_4$ über ein Feld $k$ von charakteristisch 0, und dann all dies unter Verwendung eines Galois-Cocyclus von zu verdrehen $\operatorname{PGL}(2,k)$. Zu diesem Zweck benötige ich eine geometrische Beschreibung von$V$.
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Antworten
Hier ist eine weitere sehr schöne (aber immer noch algebraische) Interpretation, die einige der Geometrien erklärt: Erinnern Sie sich daran $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ hat ein $2$-zu-$1$ Darstellung in $\operatorname{SL}(3,\mathbb{C})$ so dass sich die Lie-Algebra als teilt $$ {\frak{sl}}(3,\mathbb{C}) = {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus {\frak{m}} $$ wo ${\frak{m}}$ ist der ($5$-dimensionales) orthogonales Komplement von ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ mit der Tötungsform von ${\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$. Beachten Sie, dass${\frak{m}}$ ist ein irreduzibler ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$-Modul, und dass jedes Element $x\in {\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$ kann eindeutig geschrieben werden als $x = x_0 + x_1$ mit $x_0\in {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ und $x_1\in{\frak{m}}$. Beachten Sie auch das$[{\frak{m}},{\frak{m}}]= {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$.
Dies definiert die gewünschte Paarung ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\times \bigwedge\nolimits^2({\frak{m}})\to\mathbb{C}$: Senden $(x_0,y_1,z_1)$ zu $\operatorname{tr}(x_0[y_1,z_1])$. Das macht natürlich die$\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-Invarianz der Paarung offensichtlich.
Für eine rein geometrische Konstruktion siehe weiter unten nach den folgenden algebraischen Überlegungen.
Es gibt einen Wronskschen Isomorphismus, der als besonderen Fall besagt, dass die zweite äußere Kraft von $R_4$ ist isometrisch zur zweiten symmetrischen Potenz von $R_3$. Die fragliche Invariante ist also$I(Q,C)$, eine gemeinsame Invariante in einem binären Quadrat $Q$ und eine binäre Kubik $C$, die in linear ist $Q$ und quadratisch in $C$. Dies ist in der Tat maßstabsgetreu einzigartig und wird in klassischer symbolischer Notation (siehe z. B. Grace und Young) von angegeben$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$ wo $Q=a_{x}^{2}$ und $C=b_{x}^{3}=c_{x}^{3}$.
Eine andere Konstruktion besteht darin, von der binären Diskriminante auszugehen und sie zu polarisieren, um eine bilineare Form zu erhalten (die eindeutige invariante) $R_2$) und wenden diese bilineare Form auf an $Q$ und der Hessische von $C$.
Wenn man den Wronskschen Isomorphismus nicht verwenden will, dann wäre die Invariante $J(Q,F_1,F_2)$trilinear im Quadrat $Q$ und die zwei binären Quartics $F_1,F_2$. Es würde die Antisymmetrie befriedigen$J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ und würde in symbolischer Form von gegeben sein $$ (ab)(ac)(bc)^3 $$ wo jetzt $Q=a_{x}^{2}$, $F_1=b_{x}^{4}$, und $F_2=c_{x}^{4}$.
Geometrische Konstruktion:
Erwägen $\mathbb{P}^1$ eingebettet von Veronese als Kegel $\mathscr{C}$ im $\mathbb{P}^2$. Ein binäres Quadrat$Q$ entspricht einem Punkt in $\mathbb{P}^2$. Eine binäre Kubik$C$ entspricht einem Teiler oder einer ungeordneten Sammlung von drei Punkten $\{P_1,P_2,P_3\}$ auf $\mathscr{C}$. Lassen$T_1, T_2, T_3$ seien Sie die Tangenten an den Kegel an $P_1,P_2,P_3$. Betrachten Sie die Schnittpunkte$T_1\cap P_2P_3$, $T_2\cap P_1P_3$, $T_3\cap P_1P_2$. Sie sind ausgerichtet und definieren so eine Linie$L$. Das Verschwinden der Invariante$I(Q,C)$ erkennt die Situation, in der der Punkt $Q$ ist in der Leitung $L$. Ich erinnere mich nicht, ob das von mir erwähnte Kollinearitätsergebnis einen Namen hat, aber es ist ein entarteter Fall von Pascals Theorem.