Unterschied zwischen $\forall n\in\mathbb N$ und $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
Wirklich verwirrt über den Unterschied zwischen $\forall n\in\mathbb N$ und $\bigcap_{i=1}^\infty$.
Zum Verständnis der Analyse zitiere ich aus Übung 1.2.13. Das
Es ist verlockend, an die Induktion zu appellieren, um zum Abschluss zu kommen $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
aber Induktion gilt hier nicht. Die Induktion wird verwendet, um zu beweisen, dass eine bestimmte Aussage für jeden Wert von gilt$n\in\mathbb N$Dies impliziert jedoch nicht die Gültigkeit des unendlichen Falls.
Habe eine Weile darüber recherchiert und verstanden, dass irgendwann die Tatsache, dass ich a $n\in\mathbb N$ bedeutet, dass $n$ist endlich. Daher kann es nicht auf den unendlichen Fall angewendet werden.
Ja, ich verstehe die Gründe. Aber wenn$\forall n \in\mathbb N$ funktioniert nicht, was funktioniert dann, um einen unendlichen Fall zu beweisen?
Gerade als ich mich über den Unterschied wohl fühle. Die Verwirrung wird durch das Buch noch einmal zur Sprache gebracht, und ich zitiere im Folgenden in der Hoffnung, es so kurz wie möglich zu halten:
Die Eigenschaft für verschachtelte Intervalle setzt voraus, dass jeweils $I_n$ enthält $I_{n+1}$. Sie sind eine verschachtelte Folge von geschlossenen Intervallen, die als solche definiert sind.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
Der Beweis konzentriert sich darauf, eine einzelne reelle Zahl x zu finden, die allen gehört $I_n$ und es argumentiert, es ist supA.
Im Beweis hieß es $x\in I_n$, für jede Wahl von $n\in\mathbb N$. Daher,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ und die Kreuzung ist nicht leer.
Lassen Sie mich wissen, wenn die verpassten Details benötigt werden. Mein Punkt ist jedoch genau das:
- Warum in der unendlichen Herrschaft von Morgan? $\forall n\in\mathbb N$ gilt nicht für $\infty$
- Warum in der Eigenschaft für verschachtelte Intervalle? $\forall n\in\mathbb N$ gilt für $\infty$
Antworten
$\forall n\in\Bbb N$ trifft nie zu$\infty$, weil $\infty$ ist kein Element von $\Bbb N$. Im verschachtelten Intervallsatz gibt es keine $I_\infty$. Was wir wissen ist das$x\in I_n$ für jede $n\in\Bbb N$und daher per Definition $n$ befindet sich im Schnittpunkt der Mengen $I_n$. Sie könnten diese Kreuzung nennen$I_\infty$ wenn Sie dies wollten, aber das wäre eine willkürliche Wahl, unabhängig von dem Induktionsargument, das die Mengen betrifft $I_n$;; man könnte es genauso gut George nennen. (Vor vielen Jahren veröffentlichte ein Freund von mir tatsächlich einen Artikel über ein mathematisches Objekt, das er George nannte.)
Das Gesetz von De Morgan beweist es für beliebige Familien von Mengen, indem es einfach zeigt, dass jede Seite der vorgeschlagenen Identität eine Teilmenge der anderen ist. Dies geschieht für willkürlich indizierte Familien von Mengen hier und in dieser Antwort (und wahrscheinlich auch an anderen Stellen bei MSE). Der Beweis hängt nicht vom Satz für endliche Familien von Mengen ab und beinhaltet keinerlei Induktion.
De Morgans Regel funktioniert zufällig für unendliche Mengen. Dies kann jedoch nicht durch Einführung in die endliche Version von De Morgans Regel bewiesen werden, da die Einführung ein Instrument ist, um zu beweisen, dass eine Aussage für einen willkürlich großen Wert von wahr ist$n$ (aber $n$ ist noch endlich).
Der Schnittpunkt einer zählbar unendlichen Anzahl von Mengen folgt aus der Definition. Das sagen wir$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ iff $x \in I_n$ für alle $n \in \mathbb N$.