Verständnis des Dichteoperators in der Quantenmechanik für ein Gelenksystem
Bedenken Sie, dass wir mit einem gemeinsamen System arbeiten, das aus System A mit Basis besteht $|\alpha_j\rangle$ und System B mit Basis $|\beta_j\rangle$können wir eine allgemeine Dichtematrix für das Gelenksystem in Bezug auf die Tensorproduktbasis schreiben $|\alpha_j\rangle |\beta_j\rangle$.
Ich möchte dann verstehen, wie wir daraus schließen können, dass der Dichteoperator wie folgt geschrieben werden kann.
$$\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
Jede Hilfe, die mir das Verständnis erleichtert, wäre sehr dankbar.
Antworten
Wenn $\big\{|\alpha_j\rangle\big\}$ ist eine Basis für den Hilbert-Raum $\mathcal H_A$ und $\big\{|\beta_k\rangle\big\}$ ist eine Basis für $\mathcal H_B$, dann $\big\{|\alpha_j,\beta_k\rangle \big\}$ ist eine Basis für $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$, der natürliche Hilbert-Raum für das Verbundsystem. Um die Notation aufzuhellen, definiere ich$|\alpha_j,\beta_k\rangle \equiv |\alpha_j\rangle \otimes |\beta_k \rangle$.
Von dort aus der Identitätsoperator weiter $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ kann geschrieben werden $$\mathbf 1 = \sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|$$
also ein beliebiger Operator $T$ kann geschrieben werden
$$T = \mathbf 1 \cdot T \cdot \mathbf 1 = \bigg(\sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|\bigg) T \bigg(\sum_{\ell,m} |\alpha_\ell,\beta_m\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|\bigg)$$ $$ = \sum_{j,k,\ell,m}T_{jk\ell m} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|$$
wo $$T_{jk\ell m} \equiv \langle \alpha_j,\beta_k| T | \alpha_\ell,\beta_m\rangle$$
Kurze Antwort: Wenden Sie beide Seiten der Gleichung auf einen beliebigen Ket-Basisvektor an, und die Dinge werden sich stark vereinfachen.
Die Wahrheit dieser Gleichung hat nichts mit der Tatsache zu tun, dass es sich um ein gemeinsames System handelt oder dass es sich um einen Dichteoperator handelt. Dies gilt für jeden Bediener und jede orthonormale Basis.
Nachdem Sie beide Seiten der Gleichung auf einen Basisvektor angewendet haben, können Sie fortfahren, indem Sie die beiden Terme umdrehen und die Auflösung der Identität verwenden.