Verstehen, wie Quadratur-Heterodyning Informationen von negativen Frequenzen erfasst
So wie ich verstehe, wie SDR funktioniert, gibt es einen Empfängereingang, der im Allgemeinen mit einer Antenne verbunden ist, die Signale aus dem Äther zieht. Dieser Eingang ist mit zwei Mischern (linearen Multiplikatoren) verbunden, die in beiden Mischern mit der gleichen LO-Frequenz gemischt werden. Die beiden LO-Signale sind jedoch um 90 ° phasenverschoben. Dies führt zu zwei Ausgangssignalen, die üblicherweise als I und Q bezeichnet werden, I für das "In-Phase" -Signal und Q für das "Quadratur" -Signal oder 90º-Phasensignal.
Wenn es dann eine interessierende modulierte (z. B. mit Sprache modulierte AM) Frequenz gibt, können wir den LO auf die Trägerfrequenz abstimmen, und aufgrund von Überlagerungsprinzipien müssen wir uns jetzt nur noch mit den Basisbandfrequenzen befassen, was viel einfacher ist / billiger zu digitalisieren.
Wenn wir nur mit einem einzelnen Mischer heterodynisiert hätten, würden wir die Differenz zwischen der Trägerfrequenz und den Basisbandfrequenzen erhalten, so dass das obere Seitenband nun als Frequenzen von Null bis zur oberen Grenze der Basisbandfrequenzen und das untere Seitenband erscheinen würde würde als Spiegelbild dazu erscheinen, wären also negative Frequenzen.
Wie gehen wir mit negativen Frequenzen um? FWIU, hier kommt die Quadratur (Q) -Heterodyning ins Spiel. Durch Verschieben der LO-Frequenz um 90 ° enthält der Ausgang des Q-Mischers die Informationen, die im unteren Seitenband vorhanden waren.
Dies ist, was ich Schwierigkeiten habe zu verstehen / zu visualisieren. Ich bin sicher , dass die Eulersche Formel in diese kommt, und könnte wahrscheinlich die Mathematik folgen , wenn mir vorgestellt (und mit allen Mitteln Sie mich nicht falsch, ich bin interessiert auch die Mathematik zu sehen) , aber ich habe Schwierigkeiten zu visualisieren , wie diese kann so sein.
Zum einen sprechen wir über 2 LO-Signale im Abstand von 90 °. Aber was bestimmt, welches welches ist? Das heißt, wenn ich das eingehende Signal mit nur einem LO-Ausgang oder dem anderen mischen würde, würde das eingehende Signal den Unterschied nicht kennen und würde mir in jedem Fall eine Differenzfrequenz zwischen dem Träger und dem Basisband geben. Es würde gleich aussehen, wenn ich es mit einer Sinuswelle einer Cosinuswelle heterodynisieren würde, denn wer weiß, welcher Phasenwinkel eine dieser Wellenformen für den Träger wäre? Es könnte alles sein. Zumindest bei traditionellen Superhet-Radios war das egal.
Warum bin ich dann das "In-Phase" -Signal? In Phase zu was? Die Karriere? Aber warum sollte dies dann nach den Überlegungen des vorherigen Absatzes von Bedeutung sein?
Antworten
Eine negative Frequenz ist nur eine positive Frequenz "in die entgegengesetzte Richtung".
Stellen Sie sich vor, ich habe ein transparentes Rad, in dem sich an einer Stelle nahe der Kante eine schwarze Scheibe befindet. Stellen Sie sich nun vor, ich strahle von der Seite ein Licht durch den Raddurchmesser, so dass der Schatten der Scheibe an der Wand erscheint. Wenn ich das Rad drehe, können Sie beobachten, wie der Schatten in einem sinusförmigen Muster an der Wand auf und ab geht. Wenn Sie die Höhe des Schattens an der Wand im Verhältnis zur Zeit grafisch darstellen, können Sie die Frequenz der Sinuswelle und damit die Frequenz der Raddrehung ermitteln. Aber nichts, was Sie von diesem Schatten aufgenommen haben, kann Ihnen sagen, ob sich das Rad im oder gegen den Uhrzeigersinn drehte!
Stellen Sie sich nun vor, ich hätte ein zweites Licht über dem Rad hinzugefügt (in einem Winkel von 90 ° zum ersten in der Radebene) und einen Schatten auf den Tisch darunter geworfen. Dieser Schatten bewegt sich ebenfalls in einem sinusförmigen Muster mit der gleichen Geschwindigkeit wie der andere, jedoch mit einer Phasenverschiebung von 90 °, und Sie können genau die gleichen Frequenzinformationen wiederherstellen, indem Sie diesen Schatten allein betrachten.
Wenn Sie jedoch beide Schatten gleichzeitig aufgenommen haben, stellen Sie möglicherweise fest, dass in einigen Fällen der "positive Peak" eines Schattens 90 ° vor dem anderen und manchmal stattdessen 90 ° hinter dem anderen liegt . Tatsächlich ist der eine Fall, wenn sich das Rad im Uhrzeigersinn dreht, und der andere, wenn sich das Rad gegen den Uhrzeigersinn dreht. (Es spielt keine Rolle, welche Achse Sie als "erste" Achse definieren, welche Richtung Sie als positiv definieren oder welche Richtung Sie als im Uhrzeigersinn definieren ... solange Sie eine Auswahl treffen und dabei bleiben. Jede Änderung an einer von ihnen wird das Zeichen Ihres Ergebnisses tauschen).
Sinus und Cosinus sind also beide 1-D-Projektionen von etwas, das in 2-D passiert. Mit nur einer von ihnen können wir eine "positive" Frequenz nicht von einer negativen unterscheiden, aber mit beiden verhalten sich positive und negative Frequenzen unterschiedlich, und wir können diese Eigenschaft verwenden, um Informationen von Frequenzen wiederherzustellen, die unten "vermischt" wurden Null ", ohne auf die Aliasing-Probleme zu stoßen, die wir hätten, wenn wir nur eines verwenden würden.
Einige schnelle Definitionen: eine Sinuskurve mit Winkelfrequenz $\omega$ und Phase $\varphi$ zum Zeitpunkt $t$ ist:
$$ \cos(\omega t + \varphi ) $$
Betrachten wir nun ein Szenario: Wir haben einen idealen Mischer mit einem LO mit $\omega = 1$ und variable Phase, und wir wollen eine Ausgabe bei erzeugen $\omega = 0.3$. Wir wissen, dass wir dies mit einer Eingabe in den Mixer tun können, entweder mit:
- $\omega = 0.7$ (weil $1 - 0.7 = 0.3$), oder
- $\omega = 1.3$ (weil $1.3 - 1 = 0.3$).
Wenn ich Ihre Frage ein wenig umformulieren darf, wurde Ihnen im ersten Fall gesagt, dass wir irgendwie eine negative Frequenz erhalten, weil der Eingang unter dem LO liegt. und im zweiten Fall erhalten wir eine positive Frequenz, weil der Eingang über dem LO liegt. Die Frage ist, wie kann der Mischer "wissen", ob eine Frequenz positiv oder negativ ist?
Wir werden vier Möglichkeiten in Betracht ziehen, die wir mischen könnten:
- Eingang unterhalb der LO, LO-Phase = 0
- Eingang über dem LO, LO-Phase = 0
- Eingang unterhalb der LO, LO-Phase = $-\pi/2$
- Eingang über der LO, LO-Phase = $-\pi/2$
Erster Fall: Eingang unterhalb der LO, LO-Phase = 0
Mathematisch ist das
$$ \cos(t) \times \cos(0.7 t) $$
Plotten Sie es:
Es ist klar genug zu sehen, dass dies tatsächlich einen Ausgang erzeugt, der eine niederfrequente Sinuskurve ist, die einer höherfrequenten überlagert ist. Jetzt interessieren wir uns wirklich nur noch für den niederfrequenten Term (1 - 0,7). Wir wissen, dass Term mit niedrigerer Frequenz hat$\omega = 0.3$, was ist es Phase? Wenn man es nur ansieht, sieht es aus wie 0. Zeichnen wir das also noch einmal mit dem Niederfrequenzterm$\cos(0.3 t + 0)$ inbegriffen:
Wir können also sagen:
$$ \cos(t) \times \cos(0.7 t) = {\cos(0.3t + 0) \over 2} + \dots $$
Hier, $\dots$ bezeichnet den höherfrequenten Term, den wir für dieses Beispiel nicht wirklich interessieren.
Zweiter Fall: Eingang über dem LO, LO-Phase = 0
$$ \cos(t) \times \cos(1.3 t) = {\cos(0.3t + 0) \over 2} + \dots $$
OK, der Term mit der höheren Frequenz hat sich natürlich geändert, aber der $\omega=0.3$Der Begriff, an dem wir interessiert sind, ist genau der gleiche. Es scheint keine Möglichkeit zu geben, negative von positiven Frequenzen zu unterscheiden.
Dritter Fall: Eingang unterhalb der LO, LO-Phase = $-\pi/2$
$$ \cos(t-\pi/2) \times \cos(0.7 t) = { \cos(0.3t - \pi/2) \over 2 } + \dots $$
OK, es gibt noch eine $\omega = 0.3$Ausgang, aber die Phase hat sich geändert. Das wäre sinnvoll, da sich auch die Phase des LO geändert hat. Weitermachen ...
Vierter Fall: Eingang über der LO, LO-Phase = $-\pi/2$
$$ \cos(t-\pi/2) \times \cos(1.3 t) = { \cos(0.3t + \pi/2) \over 2 } + \dots $$
Ähnlich wie im letzten Fall, aber die Phase hat sich um 180 Grad gedreht. Es scheint, dass sich die Phase des Mischerausgangs ändert, je nachdem, ob der Eingang über oder unter dem LO lag!
Fazit
Wenn zwei Sinuskurven derselben Phase multipliziert werden, hängt der Ausgang nicht davon ab, ob der Eingang zum Mischer über oder unter dem LO liegt.
Wenn der LO- und der Mischereingang jedoch um 90 Grad phasenverschoben sind, wird der Ausgang invertiert oder nicht, je nachdem, ob der Eingang über oder unter dem LO lag.
Dieser Unterschied ermöglicht es einem IQ-Mixer, zu "wissen", ob eine Frequenz positiv oder negativ ist. Und es ist auch dieser Unterschied, der erklärt, warum komplexe Multiplikationen Frequenzen verschieben können, ohne sich mit Bildfrequenzen zu befassen .
Wenn ein IQ-Mischer dasselbe Signal mit zwei LOs multipliziert, die jeweils um 90 Grad phasenverschoben sind, wandelt er das Eingangssignal (das eine echte Funktion ist) effektiv in eine komplexe Funktion um. Multiplizieren mit$\cos(\omega_\text{LO}t)$ erzeugt den Realteil und multipliziert mit $\sin(\omega_\text{LO}t)$ erzeugt den Imaginärteil.
Wenn Sie dies als auf der komplexen Ebene dargestellt betrachten , zeichnen zwei Sinuskurven im Abstand von 90 Grad einen Kreis:
Bildquelle , die leider nicht mehr online ist
Wenn Sie eine dieser Funktionen invertieren, aber nicht die andere, indem Sie das Signal auf die andere Seite des LO verschieben, folgt das Ergebnis demselben Kreis, dreht sich jedoch in die andere Richtung.
Wenn Sie eine rein reale Funktion wünschen, brauchen Sie zwei Kreise, die sich in entgegengesetzte Richtungen drehen. Zusammengenommen und in der richtigen Phase werden ihre Imaginärteile abgebrochen und Sie haben nur noch den Realteil.
Und die gleiche Logik in die andere Richtung, wenn Sie mit einer rein realen Funktion beginnen, "unter der Haube", das sind zwei Kreise, die sich in entgegengesetzte Richtungen drehen, ein Gegenstück mit positiver und negativer Frequenz.
Negative Frequenzen in der realen Welt (Einzel-DOF-Messung) sind genau das, was wir positive Frequenzen nennen, die unterhalb einer anderen Frequenz auftreten.
Oberhalb des Basisbandes ist dieses LSB-Signal nicht wirklich negativ, sondern nur niedriger als eine Referenzfrequenz (der Träger).
Das In-Phase-Signal allein ist für nichts in Phase. Es hat nur eine verwandte Phase zu einem zweiten (Quadratur-) Signal. Wenn das andere Signal (2) 90 Grad später übereinstimmt (z. B. weniger als eine halbe Periode verzögert ist), ist das frühere Signal (1) das In-Phase-Signal. Wenn das andere Signal (2) um mehr als eine halbe Periode verzögert ist, ist das gleiche wie das andere Signal (2) um weniger als eine halbe Periode früher, wodurch dieses andere Signal (2) zum In-Phase-Signal wird.
Wenn ein HF-Signal einzeln auf das Basisband heruntermoduliert wird, wird sein LSB mit seinem USB-Alias verknüpft, und somit werden beide Seitenbänder zu einem einzigen Signal zusammengemischt. Und wenn Sie ein streng reales Signal (nicht DC) FFT, sehen Sie ein komplexes konjugiertes Spiegelbild. Und kann Original-USB (vor dem Mischen) nicht von LSB-Daten unterscheiden.
Wenn die Quadratur auf das Basisband heruntermoduliert wird, erhalten Sie zwei resultierende Signale.
Beim Mischen (durch Multiplikation) zweier Sinuskurven unterschiedlicher Frequenz erscheint eine Schwebungsnote bei der Differenz zwischen den beiden Eingangsfrequenzen. Die Nulldurchgänge der Beat-Note erscheinen, wenn die beiden Sinuskurven vorübergehend um 90 Grad voneinander entfernt sind, z. B. eine Spitze einer Sinuskurve nahe der gleichen Zeit wie ein Nulldurchgang der anderen. Die Spitzen der Beat-Note treten auf, wenn sich die Spitzen der beiden Sinuskurven entweder ausrichten oder in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Was als nächstes (gleiche oder entgegengesetzte Spitzenausrichtung) geschieht, hängt davon ab, ob der Frequenzunterschied zwischen dem Eingangssignal und dem Modulationssignal positiv (höher) oder negativ (niedriger) ist.
Wenn die Quadratur auf das Basisband heruntermoduliert wird, erhalten Sie zwei "Beat Note" -Ergebnisse. eine für I und eine für Q. Die Phasendifferenz der beiden "Beat Note" -Ergebnisse aus einem LSB-Signal ist entgegengesetzt zu der Phasendifferenz zwischen den beiden "Beat Note" -Ergebnissen aus einem USB-Signal (mit demselben Offset). .
Somit kann eine komplexe FFT des IQ-Basisbandsignals zwischen den zwei verschiedenen Seitenbändern unterscheiden, da sie aufgrund dieser Phasendifferenz in den zwei verschiedenen "Schlagnoten" keine strengen konjugierten Spiegelbilder sind.
Und so können Sie das eine oder andere Seitenband "erhalten", indem Sie sich das FFT-Ergebnis oder einen ähnlichen Prozess ansehen.
Eine weniger mathematische Antwort, dieser Satz: "Wenn dann eine interessierende modulierte (z. B. mit Sprache modulierte AM) Frequenz von Interesse ist, können wir den LO auf die Trägerfrequenz abstimmen, und aufgrund von Überlagerungsprinzipien müssen wir uns jetzt nur noch damit befassen." die Basisbandfrequenzen, die viel einfacher / billiger zu digitalisieren sind. " Wenn der LO auf "die gleiche Frequenz" eingestellt ist, spielt die LO-Phase eine Rolle. Wenn Sie die LO-Phase in Bezug auf die Trägerphase auf 0 Grad einstellen, haben Sie einen synchronen AM-Detektor. Der Ausgang wäre die Amplitude des Trägers - dh eine Gleichspannung mit der AM-Modulation. Wenn die Phase 90 Grad betragen würde, wäre der (durchschnittliche) Gleichstromausgang Null und unabhängig von jeglicher AM-Modulation. Im Falle einer Phasen- / Frequenzmodulation wäre der Ausgang proportional zum Phasenversatz mal der Trägeramplitude.(Damit kann man den LO phasenverriegeln.) In der SDR-Welt befindet sich der LO möglicherweise in der Nähe des Trägers, sodass sich die Phase langsam dreht. Das bedeutet, dass sich die AM-Komponente und die FM-Komponente zwischen I und Q drehen würden. Um AM zu erfassen, würde man die Quadratwurzel von I im Quadrat + Q im Quadrat berechnen (nachdem I und Q gefiltert wurden, um unerwünschte Frequenzen zu entfernen), während die Phase atan wäre (Q, I). Die Frequenz ist die Änderung der Phase mit der Zeit. Das ergibt einen FM-Detektor. Dies funktioniert auch, wenn der LO weit von der Trägerfrequenz des gewünschten modulierten Signals entfernt ist.Um AM zu erfassen, würde man die Quadratwurzel von I im Quadrat + Q im Quadrat berechnen (nachdem I und Q gefiltert wurden, um unerwünschte Frequenzen zu entfernen), während die Phase atan (Q, I) wäre. Die Frequenz ist die Änderung der Phase mit der Zeit. Das ergibt einen FM-Detektor. Dies funktioniert auch, wenn der LO weit von der Trägerfrequenz des gewünschten modulierten Signals entfernt ist.Um AM zu erfassen, würde man die Quadratwurzel von I im Quadrat + Q im Quadrat berechnen (nachdem I und Q gefiltert wurden, um unerwünschte Frequenzen zu entfernen), während die Phase atan (Q, I) wäre. Die Frequenz ist die Änderung der Phase mit der Zeit. Das ergibt einen FM-Detektor. Dies funktioniert auch, wenn der LO weit von der Trägerfrequenz des gewünschten modulierten Signals entfernt ist.
Tatsächlich kann das Paar von I und Q mit der Abtastrate F in einen einzelnen Strom von Abtastwerten mit der doppelten Abtastrate 2 * F ohne Informationsverlust oder S / N-Verhältnis umgewandelt werden. Dies kann sowohl in der analogen als auch in der digitalen Welt erfolgen.
In einem SDR haben wir normalerweise einen A / D-Wandler, der die Amplitude gegen die Zeit angibt. Es könnte sich um einen Datenstrom mit 80 Megasamples pro Sekunde handeln. Wir könnten ein digitales Bandpassfilter bei 7 MHz mit einer Bandbreite von 1 MHz anwenden und dann die Abtastrate auf 2 MHz reduzieren. Alternativ könnten wir zwei Mischer in Quadratur anwenden, um zwei Signale I und Q mit einer Abtastrate von 80 MHz zu erhalten, und dann zwei Tiefpassfilter DC auf 1 MHz anwenden, wonach wir auf I und Q mit 1 MHz herunterabtasten könnten. Die zweite Strategie erweist sich als weitaus günstiger in Bezug auf die CPU-Last (fpga), so dass wir diese verwenden, aber beide Prozesse sind gleichwertig.