vierte Momente abgeschnittener Einheitsvarianzvariablen sind summierbar

Nov 21 2020

In einem Artikel fand ich Folgendes:

Wenn $X$ ist also ein rv mit einem Mittelwert von Null und einer endlichen Varianz $$ \sum_N \frac 1 {N^2} \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right]<+\infty $$

und ich kämpfe darum zu verstehen, wie ich es beweisen kann. Ich habe versucht, die klassische Schätzung vorzunehmen$$ \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] \le N \mathbb E\left[ |X|^2 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] \le N $$aber es reicht nicht. Ich denke ich kann bekommen$o(N)$, aber das reicht noch nicht.

Ich habe auch versucht, ein Gegenbeispiel zu finden, aber zum Beispiel eine kontinuierliche Verteilung mit einer Dichte mit Schwanz $O(x^{-k})$ Bedürfnisse $k>3$ endliche Varianz zu haben, die mit der Bedingung übereinstimmt, Summierbarkeit zu erhalten.

Und wenn $X$ hat eine Verteilung mit kompakter Unterstützung, dann sind alle Momente durch dieselbe Konstante begrenzt, so dass die Summierbarkeit folgt.

Antworten

1 Exodd Nov 22 2020 at 17:11

Ok, ich habe es wahrscheinlich verstanden.

$$ \sum_{N=1}^{\infty} \frac 1 {N^2} \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] = \sum_{N=1}^{\infty} \frac 1 {N^2} \sum_{n=1}^{N}\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\\ = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\sum_{N=n}^{\infty} \frac 1 {N^2} \\ \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac 2n\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\\ \le \sum_{n=1}^{\infty}2\mathbb E\left[ |X|^2 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right] = 2 \text{Var}(X) <+\infty $$