Wann ist die Zusammensetzung linearer Karten ein Isomorphismus?
Lassen $T:V\rightarrow W$ und $L:W\rightarrow U$ lineare Karten zwischen endlichdimensional sein $\mathbb{R}$-Vektorräume. Ich bin gespannt wann$L\circ T:V\rightarrow U$ ist ein Isomorphismus.
Meine Hypothese ist das $L\circ T$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $Ker(L)^{\perp} = Im(T)$. (Damit meine ich das$Im(L) \cap Ker(L)={0}$).
Folgendes bin ich weit gekommen, durch diesen Beitrag wissen wir das$L$ muss injektiv sein und (doppelt streiten) wir finden das $T$muss surjektiv sein. Also, das Splitting-Lemma anwenden : Wir schreiben$W\cong V\oplus U$. Schon seit$T$ ist dann injektiv und linear $V\cong Im(T)$. Jetzt seit$L$ ist dann surjektiv wenn $Im(T)$ schneidet $\ker(L)$ nicht trivial (dh mehr als nur bei $0$) dann $Im(L)$ ist von streng geringerer Dimension als $U$;; woher kann es nicht surjektiv sein. Deshalb,$Im(T)\cap \ker(L)={0}$. Die umgekehrte Richtung ist klar.
Würde mein Argument auch gelten wenn $L\circ T$ ist nur injektiv?
Antworten
Das Aufteilungs-Lemma gilt in dieser Situation nicht. Auch für$L \circ T$ bijektiv sein $L$ muss surjektiv sein und $T$ injektiv.
Die folgende Aussage gilt für alle Zusammenstellungen von Karten. $L \circ T$ ist bijektiv iff $T$ ist injektiv und $L|_{im T} $ist bijektiv. Bei der Betrachtung linearer Karten bedeutet dies:
$L \circ T$ ist bijektiv iff $T$ ist injektiv, $L$ surjektiv und $im(T) \cap ker(L) = {0}$