War Maxwells Verschiebungsstrom die einzige Möglichkeit, das Ampère-Gesetz zu korrigieren?
Es ist bekannt, dass Maxwell den Verschiebungsstromterm zum Ampère'schen Gesetz hinzugefügt hat, um die Elektrodynamik zu vervollständigen. Da es im modernen Kontext gelehrt wird (ich lese gerade Griffiths Text, Einführung in die Elektrodynamik ), können wir die Hinzufügung des Verschiebungsstromterms motivieren, indem wir feststellen, dass seine Hinzufügung zu Maxwells Gleichungen bedeutet, dass Maxwells Gleichungen die Kontinuitätsgleichung implizieren. Wie Griffiths bemerkt, ist diese Schönheit (die Tatsache, dass die Kontinuitätsgleichung aus Maxwells Gleichungen herausfällt) kein unbestreitbarer Beweis dafür, dass die Hinzufügung der spezifischen Form des Verschiebungsstromterms notwendigerweise korrekt ist. In der Tat sagt er, dass es "schließlich andere Möglichkeiten geben könnte, Ampères Gesetz zu behandeln". Meine Frage ist daher zweifach:
(1) Stimmt es, wie Griffiths sagt, dass es möglicherweise andere Möglichkeiten gibt, das Ampere-Gesetz zu "reparieren"? Das heißt, können wir lassen$$\nabla \times \mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J}+\mathbf{v}$$ für eine beliebige Vektorfunktion $\mathbf{v}$und noch eine konsistente Theorie entwickeln? Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier "eine konsistente Theorie" definieren soll, aber vielleicht können wir grob sagen, dass eine konsistente Theorie keine Widersprüche zu den anderen drei Maxwell-Gleichungen bedeuten würde (mathematisch gesehen). Zumindest für mich würde ich vermuten, dass die Antwort "Ja" ist, da das Problem (zumindest wie es in der moderneren Sprache der Vektorrechnung im Vergleich zu dem, was Maxwell tat) mit dem Ampere-Gesetz ohne Maxwells Korrektur das ist Die Divergenz der rechten Seite verschwindet im Allgemeinen nicht, wie es sein muss. Daher würden wir dies verlangen (unter Verwendung der Kontinuität und des Gaußschen Gesetzes).$$\nabla \cdot \mathbf{v}=-\nabla \cdot(\mu_{0}\mathbf{J})=\mu_{0}\frac{\partial\rho}{\partial t}=\mu_{0}\nabla \cdot(\epsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t})$$Aber natürlich spezifiziert die Divergenz einer Vektorfunktion diese Vektorfunktion nicht vollständig. Vorausgesetzt jedoch, wir wählen$\mathbf{v}$Aus diesen Gründen und Ablege experimentelle Verifikation für den Moment zu erfüllen, würde die Wahl etwas anderes für$\mathbf{v}$ die Struktur von Maxwells Theorie woanders brechen?
(2) Griffiths geht nun zur experimentellen Verifizierung über und sagt, dass Hertz 'Entdeckung von EM-Wellen Maxwells Wahl für den Verschiebungsstromterm bestätigt hat. Ich verstehe, dass Maxwells Gleichungen Wellenlösungen implizieren, die experimentell beobachtet wurden, aber vielleicht kann jemand (sogar auf hoher Ebene) erklären, warum jede andere Wahl des Verschiebungsstromterms zu Inkonsistenzen mit dem Experiment geführt hätte (vorausgesetzt, mein Versuch zu antworten ( 1) oben war richtig für, wenn es mathematische Inkonsistenzen gibt, dann sind wir fertig).
Antworten
Die korrekte, umfassende und unumstößliche Art, den Begriff zu erklären, ist die Verwendung einer speziellen Relativitätstheorie. Sie haben Recht, dass ohne Experiment und spezielle Relativitätstheorie v alles sein kann.
Sobald Sie die spezielle Relativitätstheorie betrachten, muss v sein$\partial E / \partial t$ und es gibt keine andere Theorie, um es mit mathematischer Konsistenz vollständig zu erklären.
Die spezielle Relativitätstheorie spielt in der Maxwell-Gleichung eine sehr wichtige Rolle, denn wenn Sie eine sich bewegende Ladung haben, die ein Magnetfeld erzeugt, können Sie immer zu einem Referenzrahmen gehen, in dem B Null ist.
Aus den Erhaltungsgesetzen und der speziellen Relativitätstheorie haben wir:
$\partial_\mu F^{\mu \nu} = \mu_o J^\nu $
wo $F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ und $A_\mu$ist das Vektorpotential. Das$F^{\mu i}$ Begriff ist die Gleichung, nach der Sie suchen.