Warum bleibt die Wirkung von Controlled-Z durch den Austausch von Zielkontroll-Qubits unverändert?

Question

In dem Buch "Quantum Computer Science" wird bei der Erläuterung des Fehlerkorrekturcodes dieses Bild verwendet und es wird gesagt, dass "die Aktion von Controlled-Z durch Austausch der Ziel- und Kontroll-Qubits unverändert bleibt".

Bedeutet dies, dass der Akt von cZ (Kontroll-Ancilla-Qubit und Ziel-Codewort-Qubit) gleich cz (Kontroll-Codewort-Qubit und Ziel-Ancilla-Qubit) ist? Wenn dies der Fall ist, warum ist das so?

Nach meinem Verständnis ist | 1> Z | 0> (erstes Qubit ist Kontroll-Qubit) nicht gleich Z | 0> | 1> (zweites Qubit ist Kontroll-Qubit).

Answer 1

Wenn wir einen beliebigen Zwei-Qubit-Zustand haben:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

dann nach der Bewerbung $CZ_{1 \rightarrow 2}$ Ab dem ersten Qubit erhalten wir:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

weil die Steueroperation funktioniert, wenn das Steuer-Qubit ist $|1\rangle$ und $Z$ Gate ändert das Vorzeichen der Amplitude des $|1\rangle$ Zustand daher $CZ_{1 \rightarrow 2}$ Aktion ändert das Vorzeichen der $|11\rangle$.

Nun die Aktion von $CZ_{2 \rightarrow 1}$::

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

Gleiches gilt hier nur das Zeichen der $|11\rangle$sollte aus ähnlichen Gründen geändert werden. Dies kann auch durch die Verwendung von Matrizen gesehen werden:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$