Warum ist der $i\epsilon$-Vorschrift im Klein-Gordon-Propagator notwendig?
Bei der Bewertung des Klein-Gordon-Propagators, in dem Buch von P & S , p. 31, ich sehe, dass es üblich ist, die Pole zu verschieben und hinzuzufügen$i\epsilon$im Nenner. Ich verstehe nicht, warum das notwendig ist. Warum können wir nicht einfach komplexe Analysen verwenden? Was ist in den folgenden Schritten falsch?
\begin{align} \int \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\, dz &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} (z-a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2} + \lim_{z\rightarrow -a} (z+a) \frac{e^{ibz}}{z^2-a^2}\right] [\mathrm{Residue~theorem}]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[\lim_{z\rightarrow a} \frac{e^{ibz}}{z+a} + \lim_{z\rightarrow -a} \frac{e^{ibz}}{z-a}\right]\nonumber\\ % &= (2\pi i) \left[ \frac{e^{iba}}{2\,a} - \frac{e^{-iba}}{2\,a}\right]\nonumber\\ % &= \frac{i\pi}{a} \left[ e^{iba} - e^{-iba}\right]\nonumber\\ % &= - \frac{2\, \pi\, \sin{ba}}{a} \end{align}
Was läuft falsch, wenn man so vorgeht? Können wir nicht einfach die Integration machen?$p^0$ wie es für die gemacht wird $z$-Variable? Offensichtlich,$a$ wird Funktion von sein $\vec{p}$ und $m$.
Antworten
Beachten Sie, dass das ursprüngliche Integral, das Sie berechnen möchten, über der realen Linie und nicht über einer geschlossenen Kontur liegt. Daher gilt der Cauchy-Satz erst, wenn Sie einen geeigneten Weg zum Schließen der Kontur gefunden haben. Aufgrund des Vorhandenseins des Exponentialfaktors$e^{ibz}$, wie Sie es geschrieben haben, kann man die Kontur in der oberen Halbebene schließen, wenn $\mathrm{Re}\, b>0$. Nehmen wir an, dass dies der Fall ist. Jetzt befinden sich Ihre beiden Pole tatsächlich auf der realen Linie, sodass wir auch angeben müssen, wie sie umgangen werden sollen. Da Sie die Kontur oben schließen und beide Rückstände aufnehmen, implizieren Sie, dass Sie unter diesen beiden Polen vorbeikommen. Wenn Sie über ihnen vorbeikommen, befinden sie sich außerhalb Ihrer Kontur und tragen nicht dazu bei. Da Sie unter Ihren beiden Polen vorbeikommen, können wir gleichwertig beschreiben, was Sie getan haben, indem wir sagen, dass die beiden Pole auf der komplexen Ebene um einen infinitesimalen Betrag nach oben verschoben sind$+i\epsilon$. Dies würde garantieren, dass Sie beim Integrieren entlang der realen Achse unter ihnen hindurchgehen. Sie sehen also, dass Sie auch tatsächlich einige aufgenommen haben$\epsilon$s auch in Ihrer Berechnung, obwohl Sie es nicht bestätigt haben.
Für Berechnungen in QFT gibt es eine korrekte physikalische Vorschrift für den Weg um die Pole, die als Feynman-Vorschrift bezeichnet wird und sich von der oben beschriebenen unterscheidet. Dies wird in P & S gut abgedeckt.