Was für eine positive ganze Zahl $n$ maximiert die Funktion $f(n) = \sigma_0(n)/n$?

Nov 21 2020

Ein Freund und ich hatten eine Diskussion darüber, welche Basis die beste wäre. Ich argumentierte, dass 12 das Beste wäre, weil es im Verhältnis zu seiner Größe die meisten Teiler hat. Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob 12 tatsächlich die Zahl ist, die dieses Verhältnis maximiert. Um dies zu untersuchen, habe ich meine Beobachtung formalisiert, indem ich behauptete, dass 12 die Funktion maximiert$f(z) = \sigma_0(z)/z$ wo $\sigma_0(n) = \sum_{d|n} d^0$ ist die Funktion, die die Teiler von zählt $n$. Ich fand einige Artikel und einige interessante Eigenschaften von$\sigma_0$aber nichts, was ich verwenden konnte, um diese Eigenschaft zu beweisen. Ich bin mit solchen Dingen nicht allzu vertraut, daher war ich mir nicht sicher, wie ich genau vorgehen sollte.

Hat jemand eine Idee, wie man das beweisen könnte? Im Moment scheint die Formel, die am nützlichsten wäre, die folgende zu sein$$\sigma_o(n) = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}(1 - a_i)$$ wo $\omega(n)$ ist die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von $b$ damit $n = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}p_i^{a_i}$.

Danke im Voraus!

EDIT: Wenn man ein bisschen mehr darüber nachdenkt, scheint es, als würde 12 dies definitiv nicht maximieren. Zum Beispiel hat 6 4 Teiler, während 12 6 davon hat. Wie ein Kommentator ebenfalls betonte, hat 3 2 Teiler. Das Beste scheint jedoch 2 mit zwei Teilern zu sein. Wenn$\sigma_0(n) = n$dann für alle $m \leq n$, das hätten wir $m|n$. Das würde bedeuten, dass jede Primzahl kleiner als$n$ würde in die Primfaktorisierung von einbezogen werden $n$. Dies ist eine ziemlich starke Eigenschaft, von der ich vermute, dass sie nur 2 hält.

Antworten

2 jjagmath Nov 21 2020 at 07:38

Beachten Sie zuerst das $\displaystyle \frac{\sigma_0(n)}{n} = \prod_p \frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}}$ wo $\alpha_p \ge 0$.

Aber $\displaystyle\frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}} < 1$ für alle Prime $p$ und alles $\alpha >0$ mit der einzigen Ausnahme von $p = 2$ und $\alpha = 1$, was bedeutet, dass das Maximum erreicht wird, wenn alle $\alpha$sind $0$ (($n = 1$) oder wenn alle aber $\alpha_2$ sind $0$ und $\alpha_2 = 1$ (n = 2).

1 QC_QAOA Nov 21 2020 at 07:17

Aus dieser Antwort wissen wir das

$$\sigma_0(n)\leq n^{\frac{1.0660186782977...}{\log \log n}}<n^{ \frac{2}{\log \log n}}$$

(mit Gleichheit bei $n=6983776800$). Dies impliziert dann das

$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}$$

Nun, das ist leicht zu erkennen $n\geq 1619$ wir haben

$$\frac{2}{\log \log n}-1<0$$

Dann für $n\geq 1619$ wir wissen

$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}<n^0=1$$

Aber

$$\frac{\sigma_0(1)}{1}=\frac{\sigma_0(2)}{2}=1$$

Jetzt müssen wir nur noch alle ganzen Zahlen überprüfen $3\leq n\leq 1618$. Diese sind leicht zu überprüfen und wir schließen daraus, dass die Funktion bei maximiert ist$n\in\{1,2\}$.


EDIT: Wenn Sie den Fall wollten $n\geq 3$, dann sehen wir das in ähnlicher Weise für $n\geq 2880$ wir haben

$$n^{\frac{2}{\log \log n}-1}<\frac{3}{4}$$

Dann nach Überprüfung aller ganzen Zahlen $5\leq n\leq 2879$ wir können daraus schließen, dass die Funktion bei maximiert ist $n=4$ wo

$$\frac{\sigma_0(4)}{4}=\frac{3}{4}$$