Was passiert mit der Phase nach dem Zusammenbruch der Wellenfunktion?
Angenommen, ein anfänglicher Quantenzustand $\psi = a_1\phi_1 + a_2\phi_2 + ... + a_n\phi_n$, wo $\phi_i$ ist die Eigenfunktion mit Eigenwert $\lambda_i$eines Messoperators. Nach der Messung finden wir das System im Zustand$\phi_i$ mit Wahrscheinlichkeit $|a_i|^2$.
Was passiert mit der Phasennachmessung? Das Prinzip, dass unmittelbar nachfolgende Messungen immer den gleichen Wert zurückgeben sollten, würde unabhängig von der resultierenden Phase erfüllt sein. Wir könnten das System in jedem Zustand finden$b\phi_i$, so lange wie $|b|^2=1$. Ich bin sicher, dass die Postulate der Quantenmechanik etwas darüber spezifizieren, aber ich habe keinen Text gefunden, der sich damit befasst. Was sollte$b$ Sein?
Antworten
In der Quantenmechanik werden Zustände durch Strahlen im Hilbert-Raum dargestellt, oder genauer gesagt, der Zustandsraum ist ein projektiver Hilbert-Raum - zum Beispiel für ein endliches dimensionales System ist der Raum$H_n / \sim \ \cong \mathbb{C}P^{n-1}$, wo für $u, v \in H_n$, $u \sim v$ wenn $u = \alpha w$ für eine komplexe Zahl ungleich Null $\alpha$.
Normalerweise arbeiten wir lieber mit dem einfachen Hilbert-Raum als mit dem projektiven Raum und legen den Quotienten fest, wann immer dies nützlich ist - einfach, weil wir bei der Arbeit mit Hilbert-Räumen viel mehr nützliche Werkzeuge zur Verfügung haben.
Sie müssen sich jedoch immer daran erinnern, dass der tatsächliche Zustandsraum der projektive Hilbert-Raum ist, was bedeutet, dass die Aussage "Wir können das System in jedem Zustand finden $b\phi_i$ so lange wie $|b|^2 = 1$"ist bedeutungslos, weil es keine getrennten Zustände gibt $b\phi_i$- Es ist auch nicht so, dass alle diese Zustände "gleich" sind - der wahre Grund ist, dass es nur einen Zustand gibt$\phi_i$ im projektiven Hilbert-Raum.
Wellenkollaps ist nur eine Fiktion, die wir verwenden, weil es mühsam wäre, Messungen realistisch als Verstrickung des Beobachters mit dem Beobachteten mit Dekohärenz zu beschreiben.
Die Phase in der Quantenmechanik ist nicht beobachtbar. Sie können die Phase von etwas nur relativ zu etwas anderem bestimmen. Die Phase$b_1$des Zustands, nachdem Sie gemessen haben, dass sich das System in Zustand 1 befindet, hat für sich genommen keine Bedeutung. Sie müssten es mit einer anderen Phase vergleichen, z. B. der Phase$b_2$ des Systems, das mit einer Person verwickelt ist, die es als Zustand 2 gemessen hat. Wenn Sie dies tun könnten, wäre es sinnvoll, zum Beispiel das zu sagen $\operatorname{arg}(b_2/b_1)$hat einen gewissen Wert. Um dies zu tun, müssten Sie so etwas wie die Messung der Interferenz zwischen der Person in Zustand 1 und der Person in Zustand 2 durchführen. Der ganze Grund, warum der Zusammenbruch eine gute Annäherung darstellt, ist, dass die Dekohärenz es uns unmöglich macht, diese Art von Interferenz zu erkennen , so dass Person 1 genauso gut aufhören könnte, die Existenz der anderen Möglichkeit zu verfolgen.
Nach der Messung finden wir das System im Zustand $\phi_i$ mit Wahrscheinlichkeit $|a_i|^2$.
Fast ist der richtige Endzustand $$a_i\phi_i,$$Es ist nur das Ergebnis der Anwendung des Projektionsoperators. Wenn wir wollen, können wir es dann normalisieren$$\frac{a_i}{|a_i|}\phi_i,$$aber wir sollten es nur tun, wenn wir wissen, dass wir es nicht mit anderen Staaten vergleichen oder überlagern werden. Wenn wir es normalisieren, teilen wir es durch eine reelle Zahl, die die Phase nicht entfernt. Die Gesamtphase ist nur dann nicht wichtig , wenn wir nicht vorhaben, den Zustand mit anderen Zuständen zu vergleichen / zu überlagern.
Ein Weg, um zu sehen, dass der Endzustand ist $a_i\phi_i$, oder wenn wir wünschen, dass sein normalisierter Cousin mit intakter Phase intakt ist, muss man sich zuerst vorstellen, dass alle außer dem $i$th Koeffizienten $a_j$sind 0 und berücksichtigen den Gesamtzustand nach der Messung von System + Gerät. Durch Kontinuität ist der Gesamtzustand unmittelbar nach der Messung genau der gleiche wie unmittelbar vor der Messung (wir sprechen in dieser Frage von sofortigen Zusammenbrüchen). Daher sollten wir den Zustand nach der Messung des Systems so zuweisen , wie er unmittelbar vor der Messung war.$a_i\phi_i$. Alles andere wäre ein bizarrer, ad hoc unnötiger Schritt.
Für den allgemeinen Fall sollte bei anderen Koeffizienten ungleich Null dasselbe durch Linearität zutreffen, da das Kollabieren des Zustands nur bedeutet, nur einen der resultierenden Zweige beizubehalten.