Was sind die p-adischen algebraischen Zahlen?
"Gegeben $p$, was sind die Elemente von $\mathbb{Q}_p$ algebraisch vorbei $\mathbb{Q}$? "
Ich wundere mich regelmäßig darüber und stoße auf diese Mathoverflow-Frage, die anscheinend dasselbe stellt. Die gewählte Antwort scheint diese Frage nicht zu beantworten (was ich sehen kann), und wenn Sie "p-adische algebraische Zahlen" googeln, wird diese Frage als Top-Ergebnis zurückgegeben. An diesem Punkt gebe ich auf und warte, bis ich es vergesse und versuche es erneut. Also werde ich diesmal fragen:
Kennen Sie eine (bequemere) Charakterisierung von $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ oder haben Referenzen für die "$p$-adische algebraische Zahlen? "
Ich bin nicht sicher, ob es eine Charakterisierung von "reellen algebraischen Zahlen" gibt, die viel befriedigender ist als "echte algebraische Zahlen", aber der p-adische Absolutwert ist von Natur aus "algebraischer" als der reale Absolutwert, und es gibt Unterschiede als $p$ variiert, also was sind sie?
Antworten
Lassen $O_\overline{\Bbb{Q}}$ Sei die algebraische ganze Zahl, nimm ein maximales Ideal $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ enthaltend $p$, Lassen $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, dann $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ und $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ ist (isomorph zu) dem Unterfeld von $\overline{\Bbb{Q}}$ behoben durch $G$.
Gleichermaßen lassen $S$ sei die Menge der (unendlichen) algebraischen Erweiterungen $K/\Bbb{Q}$ für die einige maximale Ideal $\mathfrak{p}\subset O_K$ ist so, dass $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Dann$\Bbb{Z}_p$ ist (isomorph zu) der Vervollständigung von $O_K$ beim $\mathfrak{p}$, und $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ ist (isomorph zu) jedem maximalen Element von $S$.