Wenn $a \in \Bbb Z$ ist dann die Summe von zwei Quadraten $a$ kann nicht in welcher der folgenden Formen geschrieben werden?
Lassen $a \in \Bbb Z$ sei so, dass $a = b^2 + c^2,$ wo $b,c \in \Bbb Z \setminus \{0\}.$ Dann $a$ kann nicht geschrieben werden als$:$
$(1)$ $p d^2,$ wo $d \in \Bbb Z$ und $p$ ist eine Primzahl mit $p \equiv 1\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$
$(2)$ $p q d^2,$ wo $d \in \Bbb Z$ und $p,q$ sind verschiedene Primzahlen mit $p,q \equiv 3\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$
$(1)$ ist falsch, weil $2^2 + 1^2 = 5 = 5 \cdot 1^2,$ wo $d = 1 \in \Bbb Z$ und $5$ ist eine Primzahl mit $5 \equiv 1\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$Wie beweise oder widerlege ich die andere Option? Jede Hilfe in dieser Hinsicht wird geschätzt.
Vielen Dank für Ihre Zeit.
Antworten
Beachten Sie die Summe von zwei Quadraten Satz Zustände
Eine ganze Zahl größer als eins kann genau dann als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden, wenn ihre primäre Zerlegung keinen Term enthält $p^k$, wo Prime $p\equiv 3 \pmod{4}$ und $k$ ist ungerade.
Für dein $(2)$mit $p$, da es sich von unterscheidet $q$, dann die Kraft von $p$ im $a$ wäre $1$ Plus $2$ mal die Macht von $p$ im $d$dh der Exponent von $p$ist ungerade. Also seit$p \equiv 3 \pmod{4}$dann besagt der oben zitierte Satz, dass der Wert nicht die Summe zweier Quadrate sein kann.
Beachten Sie, dass der Proof- Link des Wikipedia-Artikels zum Internetarchiv "Dieser Artikel ist nicht mehr verfügbar" lautet. Ich habe etwas gesucht, konnte aber keinen anderen Link dazu finden. Grundsätzlich gibt es jedoch den äquivalenten Satz, der in der Summe zweier Quadrate am Ende der Seite angegeben ist$4$::
Satz $6$. Eine positive ganze Zahl n ist eine Summe von zwei Quadraten iff$\operatorname{ord}_p(n)$ ist sogar für alle Primzahlen $p \equiv 3 \pmod{4}$.
Es folgt eine Bemerkung zu einer äquivalenten Aussage (die auch der von mir ursprünglich zitierten Satzaussage von Wikipedia entspricht):
Bemerkung: Eine äquivalente Aussage des Satzes, die wir im Beweis verwenden werden, lautet: $n$ ist eine Summe von zwei Quadraten, wenn es als $n = ab^2$, wo $a$ hat keinen Primfaktor $p \equiv 3 \pmod{4}$.
Diese Aussage ist möglicherweise etwas verwirrend, da sie im Grunde genommen dem Äquivalent entspricht $a$ist quadratfrei. Wie auch immer, das verlinkte Papier erklärt und beweist ein Lemma, das es dann verwendet, um seinen Satz zu beweisen$6$.
Es gibt bereits eine akzeptierte Antwort, aber ich wollte auf ein eigenständigeres Argument hinweisen. Eine Möglichkeit, 2) zu beweisen, besteht darin, das folgende elementare Lemma zu verwenden: if$p=3$ mod $4$ ist eine Primzahl und $a,b$ sind ganze Zahlen, so dass $p|a^2+b^2$, dann $p|a$ und $p|b$also $p^2|a^2+b^2$.
Dieses Lemma impliziert dies für jede Primzahl $p=3$ mod $4$ und alle ganzen Zahlen $a,b$, $v_p(a^2+b^2)$ ist gerade, was 2) zeigt.
Wie kann man nun das Lemma beweisen?
Angenommen, wir haben $p|a^2+b^2$ und sag, $p$ teilt sich nicht $a$. Lassen$a'$ sei sein inverser Mod $p$;; nehmen$b'=ba'$. Dann$p|b'^2+1$. Wie$\frac{p-1}{2}$ ist ungerade, $(b')^2+1|(b')^{2\times (p-1)/2}+1$, damit $p|(b')^p+b'$. Aber nach Fermats kleinem Satz,$p|(b')^p-b'$ damit $p|2b'$. Wie$p \neq 2$, $p|b'$, so wie $a'$ ist Koprime zu $p$) $p|b$. Deshalb$p|a^2$ damit $p|a$ein Widerspruch.