Wenn $f$ ist dann kontinuierlich $f$ ist gleichmäßig kontinuierlich iff $|f|$ ist gleichmäßig durchgehend
Wenn $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ ist dann kontinuierlich $f$ ist gleichmäßig kontinuierlich iff $|f|$ ist gleichmäßig durchgehend.
Eine Landkarte $f$ aus einem metrischen Raum $M=(M,d)$ zu einem metrischen Raum $N=(N,\rho)$ soll gleichmäßig stetig sein, wenn für jeden $\epsilon>0$gibt es eine $\delta>0$ so dass $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ wann immer $x,y \in M$ erfüllen $d(x,y)<\delta$.
Klar wenn $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ ist dann gleichmäßig durchgehend $|f|$ ist gleichmäßig durchgehend als $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$aber ich habe wirklich Probleme, den umgekehrten Teil zu zeigen. In der Region wo$f$ ist immer positiv oder negativ, wir werden kein Problem haben, aber wie mit den Punkten umzugehen, wo $f$wechselt das Vorzeichen. Wenn die Nullen von$f$ sind endlich dann können wir auch ein Minimum von allem nehmen $\delta$s und schließen Sie das Ergebnis. Was passiert, wenn Nullen von$f$ sind unendlich?
Antworten
Wie in den Kommentaren erwähnt, kann der hier gegebene Beweis leicht geändert werden, um für die gesamte Zeit zu funktionieren$\mathbb{R}^n$.
Schon seit $\lvert f \rvert$ ist gleichmäßig durchgehend, es existiert ein $\delta > 0$ so dass \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} Beachten Sie, dass wenn $f(x)f(y) > 0$, dann \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} das ist weniger als $\epsilon/2$ wann immer $d(x,y) \leq \delta$. Es überrascht nicht, dass dieser Fall ziemlich trivial war. Wir wenden uns nun dem Fall zu, in dem$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. Da hält es das immer\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} es reicht aus, das zu zeigen $\star$ impliziert die Existenz von a $z$ so dass $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ und $f(z) = 0$. Weil dann\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} wann immer $d(x,y) \leq \delta$. Schon seit$f$ ist kontinuierlich, die Existenz eines geeigneten $z$ folgt aus der Kontinuität von $f$ und $\star$(als Folge des Zwischenwertsatzes siehe zB hier ).