Wenn $g$ ist eine kontinuierliche und zunehmende Funktion von $x$, Beweise das $g(X)$ ist eine Zufallsvariable.

Question

In Übung 2.3.12 von Grimmet Stirzaker wird Folgendes gefragt Probability and Random processes. Ich würde gerne, wenn ihr helfen könnt, meine Lösung zu überprüfen.

Lassen $X$ eine Zufallsvariable sein und $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$kontinuierlich und streng steigend sein. Zeige, dass$Y = g(X)$ ist eine Zufallsvariable.

Meine Lösung.

Wie $g$ist eine monoton ansteigende Funktion, sie ist injektiv (eins zu eins). Das heißt, wenn$x_1 < x_2$, dann $g(x_1) < g(x_2)$. Deshalb,$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$.

Ich bin mir nicht sicher, wie ich darauf schließen soll $g$ ist surjektiv (auf).

Wenn $g$ ist bijektiv, die Umkehrfunktion $g^{-1}$ existiert und ist gut definiert.

Daher die Menge

\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}

schon seit $X$ist eine Zufallsvariable. Folglich,$g(X)$ ist eine Zufallsvariable.

Answer 1

Die Kontinuität und die strenge Monotonie von $g$sind irrelevant. Was erforderlich ist, ist das$g$ist eine Borel-Funktion. Beachten Sie, dass jede Bedingung "$g$ ist kontinuierlich ","$g$ ist monoton steigend "impliziert das $g$ ist eine Borel-Funktion.

Nehme an, dass $g$ist eine Borel-Funktion. Lassen$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Beachten Sie das$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ weil $g^{-1}(A)$ist ein Borel-Set. Daher$g(X)$ ist $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$-Messbar, dh eine Zufallsvariable.