Wenn $p$ ist eine ungerade Primzahl und $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, dann $\alpha^2$ ist kein primitives Wurzelmodulo $p$.

Aug 16 2020

Beweisen Sie wahr oder geben Sie ein Gegenbeispiel, wenn falsch.

Wenn $p$ ist eine ungerade Primzahl und $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, dann $\alpha^2$ ist kein primitives Wurzelmodulo $p$.

Ich habe versucht zu beweisen, dass es wahr ist, aber ich bin mir nicht sicher, wo ich anfangen soll. Ich dachte daran, Fermats kleinen Satz zu verwenden: wenn$p$ ist eine Primzahl und $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, dann $\alpha^{(p-1)}=1$ aber wie macht man den Sprung von FLT zu primitiven Wurzeln? Eine primitive Wurzel wird als Element definiert$\gamma=\phi(m)$ aber wie hängt das mit diesem Problem zusammen?

Antworten

2 Yesit'sme Aug 16 2020 at 11:42

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$Der letzte Schritt folgt aus FLT.

Daher die Reihenfolge von $a^2$ mod $p$ ist höchstens $\frac{p-1}{2}$Es kann also per Definition keine primitive Wurzel sein.