Wenn $r>0$ und $r\notin \mathbb{N}$Gibt es eine einfache Methode zur Bewertung? $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$

Question

Lassen $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$. Empirisch habe ich folgende Beziehung bemerkt:$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$speziell, $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$. Beachten Sie, dass wenn$r$ ist eine ganze Zahl, die endliche Summe ist nicht genau definiert, obwohl wir haben $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$In diesem Sinne wird die Summe "aufgehoben". Mathematica gibt die geschlossene Form von zurück$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$Welches wann $r\in\mathbb{N}$reduziert sich auf diese Frage , aber ich weiß nicht, wie ich das selbst ableiten soll. Vielleicht verstehe ich die Antworten dort nicht ganz, aber ich denke nicht, dass die gleichen Tricks gelten, wenn die Summe nicht teleskopiert. Zusammenfassend sind meine Fragen also:

1. Kann jemand die geschlossene Form erklären?
2. Gibt es einen einfachen konzeptuellen Grund, warum die endliche Summe das Negative der unendlichen Summe ist?

Answer 1

Hier ist eine Berechnung der Gesamtsumme aus $n=0$ zu $\infty$, was zu einer Berechnung der endlichen Summe führen kann. Schon seit$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$ wo $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, wir haben $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ speziell, $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ Also wollen wir auswerten $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ Erwägen $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ Wir haben $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ ebenfalls, $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ und so haben wir die Identität $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ wann immer $r>1$.