Wie impliziert det (A) = 0, dass die Lösung nicht eindeutig ist? [Duplikat]
Lösung der Matrixgleichung Ax = b, wobei $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$
ist nicht eindeutig, wenn Vektoren $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$sind linear abhängig. Dann durch Eigenschaften der Determinante,$$ \det A=0. $$Folgt jedoch immer, dass wenn det A = 0 ist, die Spaltenvektoren von A linear abhängig sind? Kann jemand einen Beweis vorlegen?
Antworten
Ein möglicher Beweis:
- Angenommen, die Spalten sind linear unabhängig.
- Konvertieren Sie die Matrix in eine Spaltenebenenform, beginnend mit der letzten Spalte und rückwärts arbeitend.
- Sie wissen, dass die Anzahl der linear unabhängigen Spalten die Anzahl der Spalten ungleich Null ist, mit denen Sie enden. Da Sie jedoch davon ausgegangen sind, dass die Spalten unabhängig sind, gibt es keine Nullspalten.
- Mit anderen Worten, Sie haben eine dreieckige Matrix mit allen Nicht-Null-Elementen auf der Diagonale erhalten. Seine Determinante ist ungleich Null.
- Die elementaren Transformationen, die wir beim Konvertieren der Matrix in eine Zeilen- / Spaltenebenenform verwenden, ändern jedoch nicht die Eigenschaft der Diagonale auf Null oder ungleich Null.
- Somit war die Determinante zunächst ungleich Null.
Wenn die erste Spalte alles ist $0$ist klar. Andernfalls betrachten Sie eine Zeile mit dem ersten Element$\ne 0$. Lassen Sie es zu, damit es zur ersten Zeile wird. Die Determinante ist immer noch$0$ist das System dem vorherigen äquivalent. Reduzieren Sie nun alle Elemente in der ersten Spalte, die niedriger als die erste Zeile sind. Noch bestimmend$0$, System noch gleichwertig. Schauen Sie sich nun die Matrix an, die durch Entfernen der ersten Zeile und Spalte gebildet wurde. Determinante ist$0$. Wenden Sie Induktion an und finden Sie eine Lösung ungleich Null$(x_2, \ldots, x_n)$. Verwenden Sie nun die ursprüngliche erste Gleichung, um zu erhalten$x_1$. Jetzt haben wir eine Lösung ungleich Null für das gesamte System.