Wie kann man die Linear- und Winkelgeschwindigkeit eines Endes einer Stange bestimmen, die auf jeder Seite auf einer Spur befestigt ist?

Question

Ich arbeite daran, die Geschwindigkeit eines Endes einer Stange zu bestimmen, die an beiden Enden in zwei verschiedene Spuren gesteckt ist. Eine Spur ist linear und das fixierte Ende hat bekannte Werte. Die andere Seite ist an eine Kreisbahn gebunden, in der keine Werte bekannt sind.

Ich habe versucht, zuerst die Winkelgeschwindigkeit zu erhalten, während ich sie benutze $$ V_B=V_A+V_{B/A} $$

durch die Nutzung $$ \omega = v/r $$

Ich habe auch notiert zu erhalten $ V_{B/A} $ ich muss finden $ \dot\theta $ was gleich ist $ \omega $

$ V_{B/A} $ hat die Gleichung von $$ (\dot\theta\hat k) \times I*(cos\theta\hat i - sin\theta\hat j) $$

Ich kann nicht finden $\theta$ oder $ V_{B/A}$ denn es scheint, dass beide den anderen brauchen, um eine Antwort zu bekommen.

Hat jemand einen Vorschlag für Gleichungen, um einen dieser beiden Werte mit den bekannten Informationen zu erhalten?

Könnte ich behandeln, dass Punkt A der Mittelpunkt des Kreises ist und die Formel von verwenden? $ V_A = r\omega $ um den Wert für zu erhalten $\omega$

Answer 1

Berechnung $\varphi_0 = \arctan(s)$. Dann die Position des Punktes$A$ ist \begin{align} &X_A = X_A\\ &Y_A = s\,X_A + b \end{align} Die Position des Punktes $B$ kann als Winkel ausgedrückt werden $\theta$ wie \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0) \end{align} Wir haben jedoch eine Einschränkung für Punkt $B$, genannt eine holonome Konstrante, das ist das $B$ bewegt sich immer entlang des Kreises $(X-c)^2 + Y^2 = r^2$, Deshalb $(X_B-c)^2 + Y_B^2 = r^2$ was explizit ist $$\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2$$ Somit bewegt sich die Position des Balkens so um diesen Punkt $A$ ist immer in der Leitung $Y = sX + b$ und Punkt $B$ ist immer im Kreis $(X-c)^2 + Y^2 = r^2$ kann durch die drei Gleichungen beschrieben werden \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2 \end{align} Daher, wenn Sie den Weg kennen $X_A = X_A(t)$ Änderungen in Bezug auf die Zeit $t$, dann können Sie es in der dritten Gleichung tupfen und es für lösen $\theta = \theta(t)$. Nachdem Sie gefunden haben$\theta$ Sie können es entlang anschließen $X_A$ in den ersten beiden Gleichungen, um die Koordinaten zu finden $(X_B, \, Y_B)$ von $B$.

Um die Winkelgeschwindigkeit zu finden $\frac{d\theta}{dt}$ des Balkens differenzieren Sie einfach die dritte Gleichung in Bezug auf $t$ und fügen Sie die neue differenzierte Gleichung als vierte Gleichung zum System hinzu: \begin{align} &X_B = X_A + l\cos(\theta + \varphi_0)\\ &Y_B = b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big) \left(\,\frac{dX_A}{dt} - l\sin(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) = \, \\ &+ \,\big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big) \left(\,s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) \, = \, 0 \end{align} Finden $\frac{d\theta}{dt}$ Sie brauchen nur die letzten beiden Gleichungen: \begin{align} &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big)^2 \, + \, \big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big)^2 \, = \, r^2\\ &\big( \, X_A + l\cos(\theta + \varphi_0) - c \,\big) \left(\,l\sin(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt} - \frac{dX_A}{dt}\,\right) \, = \,\big(\,b + s\,X_A + l\sin(\theta + \varphi_0)\,\big) \left(\,s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0) \frac{d\theta}{dt}\,\right) \end{align} Gegeben $X_A = X_A(t)$ und $V_A = V_A(t) = \frac{dX_A}{dt}$können Sie die erste Gleichung aus dem letzteren System von zwei Gleichungen nehmen, Stecker $X_A$ darin und lösen für $\theta = \theta(t)$. Diese Gleichung ist am schwierigsten zu lösen. Stecken Sie danach die zweite Gleichung ein$X_A, \, \theta,\, \frac{dX_A}{dt}$ und für die Winkelgeschwindigkeit lösen $\frac{d\theta}{dt}$.

Schließlich, um die Geschwindigkeit von zu finden $B$Nehmen Sie einfach die ersten beiden Gleichungen des obigen Vier-Gleichungssystems und differenzieren Sie sie in Bezug auf $t$:: \begin{align} &V_{x,B} = \frac{dX_B}{dt} = \frac{dX_A}{dt} - l\sin(\theta + \varphi_0)\frac{d\theta}{dt}\\ &V_{y,B} = \frac{dY_B}{dt} = s\,\frac{dX_A}{dt} + l\cos(\theta + \varphi_0)\frac{d\theta}{dt} \end{align} Sie müssen also nur die bereits berechnete Gleichung einfügen $\theta, \,\frac{d\theta}{dt}$ und $\frac{dX_A}{dt} = V_A$.

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ALTE VERSION. Lassen Sie uns die Dinge ein wenig vereinfachen. Führen Sie zunächst die Übersetzung durch:\begin{align} &X = \tilde{x} + c \\ &Y = \tilde{y} \end{align}Dann wird die Gleichung des Kreises $$ r ^ 2 = (X - c) ^ 2 + Y ^ 2 = \ tilde {x} ^ 2 + \ tilde {y} ^ 2 $$ Dann finde den Winkel zwischen der Linie $ Y = sX + b $ , was in neuen Koordinaten $ \ tilde {y} = s \, \ tilde {x} + (sc + b) $ und die horizontale Achse ist: Die Steigung ist die Tangente dieses Winkels, dh $$ \ varphi_0 = \ arctan (s) $$ Führen Sie als Nächstes eine Drehung des Winkels $ \ varphi_0 $ im Uhrzeigersinn durch, sodass die Linie $ \ tilde {y} = s \, \ tilde {x} + (sc + b ) $ wird eine Linie $ \ tilde {y} = h $ (man kann den Abstand $ h $ zwischen dem Mittelpunkt des Kreises (dem Ursprung) und der fraglichen Linie berechnen ) parallel zur horizontalen $ x- $ Achse:\begin{align} \tilde{x} = \cos(\varphi_0)\, x \, - \, \sin(\varphi_0)\, y\\ \tilde{y} = \sin(\varphi_0)\, x \, + \, \cos(\varphi_0)\, y \end{align}Bezeichne mit $ x_A $ die $ x- $ -Koordinate des Punktes $ A $, der sich entlang der Linie bewegt. Die $ y- $ -Koordinate ist $ h $ und ist fest. Die Gleichung der oberen Hälfte des Kreises in diesen neuen gedrehten und übersetzten Koordinaten kann wie folgt geschrieben werden: $$ y = \ sqrt {r ^ 2 - x ^ 2} $$
Wenn $ \ theta $ der Winkel zwischen dem Stab $ AB ist $ und die Linie $ y = h $ , die auf die parallelen $ $ x- Achse, dann sind die Gleichungen für die Position des anderen Endes der Stange, Punkt $ B $ , sind\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = \sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2} \end{align}Beachten Sie, dass es zwei freie Parameter für die Position von $ B $ auf dem Kreis gibt, nämlich $ x_A $ und $ \ theta $ . Es gibt jedoch eine andere Einschränkung: Der Abstand zwischen $ A $ und $ B $ beträgt immer $ l $ . Daher: $$ \ big (x_B - x_A \ big) ^ 2 + \ big (y_B - y_A \ big) ^ 2 = l ^ 2 $$ oder nach Substitutionen $$ l ^ 2 \ cos ^ 2 (\ theta) \ , + \, \ Big (\ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2 \,} - h \ Big) ^ 2 \, = \, l ^ 2 $$, wodurch eine Verbindung zwischen den Koordinaten $ x_A $ und $ \ theta $ hergestellt wird . Sie können den ersten Term von der linken zur rechten Seite verschieben und dann eine zentrale trigonometrische Identität auf die rechte Seite anwenden. Danach können Sie auf beiden Seiten eine Quadratwurzel ziehen und schließlich die vereinfachte Gleichung $$ \ sqrt {r erhalten ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2 \,} - h \, = \, \ pm \, l \ sin (\ theta) $$, wo Sie sich befinden sollten Beachten Sie, dass das Zeichen $ \ pm $ vom Zeichen auf der rechten Seite abhängt. Auf Ihrem Bild $ \ theta \ in [0, \ pi / 2) $, damit Sie ein Pluszeichen wählen können und die Gleichung $$ \ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\) lautet theta) \ big) ^ 2 \,} - h \, = \, l \ sin (\ theta) $$
Nun, in dieser letzteren Gleichung ist $ x_A = x_A (t) $ und $ \ theta = \ theta (t) $ sind eine Funktion der Zeit $ t $ , daher können wir die Gleichung in Bezug auf $ t $ unterscheiden und mit der obigen Gleichung koppeln:\begin{align} &\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2\,} - h \, = \, l\sin(\theta)\\ &\frac{\big(x_A + l\cos(\theta)\big)}{\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2}}\left(l\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} \, - \, \frac{dx_A}{dt}\right) \, = \, l\cos(\theta) \frac{d\theta}{dt} \end{align}Sie können die zweite Gleichung mit der ersten vereinfachen, indem Sie nach der Quadratwurzel $ \ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2} $ auflösen und die schreiben System wie folgt:\begin{align} &\sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2\,} - h \, = \, l\sin(\theta)\\ &\frac{\, x_A + l\cos(\theta)\,}{h \, + \, l\sin(\theta)}\left(l\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt} \, - \, \frac{dx_A}{dt}\right) \, = \, l\cos(\theta) \frac{d\theta}{dt} \end{align}Dieses Gleichungssystem enthält vier Variablen: $$ x_A, \, \ theta, \, \ frac {dx_A} {dt}, \, \ frac {d \ theta} {dt} $$ Wenn Sie also zwei erhalten Von diesen können Sie das System lösen und die anderen beiden finden. Wenn Sie beispielsweise die Position und Geschwindigkeit von $ A $ kennen , kennen Sie $ x_A $ und $ \ frac {dx_A} {dt} $ . Dann können Sie $ x_A $ in die erste Gleichung einfügen und dieselbe erste Gleichung für $ \ theta $ lösen . Wenn Sie dann bereits $ x_A, \, \ theta, \, \ frac {dx_A} {dt} $ kennen , können Sie diese drei Werte in die zweite Gleichung einfügen und sie für die Winkelgeschwindigkeit $ \ frac {d \ theta} { lösen dt} $ . Diese zweite Gleichung ist leichter mit Bezug auf lösen $ \ frac {d \ theta} {dt} $ weil es linear mit Bezug auf ist $ \ frac {d \ theta} {dt} $ .

Der nächste Schritt besteht darin, die lineare Geschwindigkeit von $ B $ zu ermitteln , die den Kreis tangieren sollte. Wenn Sie die Gleichungen nehmen\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = \sqrt{r^2 - \big(x_A + l\, \cos(\theta)\big)^2} \end{align}Mit der ersten Gleichung aus dem oben diskutierten Gleichungssystem können Sie $ \ sqrt {r ^ 2 - \ big (x_A + l \, \ cos (\ theta) \ big) ^ 2} = l \ sin (\ theta) ausdrücken ) + h $ und schreiben Sie die letztere Parametrisierung wie folgt neu:\begin{align} &{x}_B = x_A + l\, \cos(\theta)\\ &{y}_B = l\sin(\theta) + h \end{align}Um die lineare Geschwindigkeit von $ B $ zu ermitteln , müssen Sie nur die letztere Parametrisierung in Bezug auf $ t $ unterscheiden \begin{align} &\frac{dx_B}{dt} = \frac{dx_A}{dt} - l\, \sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\\ &\frac{dy_B}{dt} = l \, \cos(\theta)\frac{d\theta}{dt} \end{align}
Stecken Sie die bereits ermittelten Werte von $ \ frac {dx_A} {dt}, \, \ theta, \, \ frac {d \ theta} {dt} $ ein .

Answer 2

Sie sind der Lösung sehr nahe. Was Sie berücksichtigen müssen, ist, dass die Geschwindigkeit jedes Punktes auf dem gekrümmten Pfad die Kurve tangieren muss. Dh die Geschwindigkeit von Punkt A plus$V_{A|B}$muss die gleiche Richtung mit der Tangente am Punkt B haben.

Was Sie also tun müssen, ist:

• Berechnen Sie die Tangente an den gekrümmten Pfad am Punkt B.
• Drücken Sie alle Geschwindigkeiten in den Problemen im selben Referenzrahmen aus (XY oder xy). Vorzugsweise das letztere xy.
• Löse das System der Geschwindigkeiten:

zB wenn Sie xy System auswählen, sollten Sie haben $$\begin{bmatrix} V_{Bx}\\V_{By} \\0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_{Ax}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\theta} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} I \cos\theta\\ I\sin\theta\\ 0 \end{bmatrix} $$

Dies reduziert sich auf:

$$\begin{bmatrix} V_{Bx}\\V_{By} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} V_{Ax}\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\dot{\theta}I\sin\theta \\ \dot{\theta}I \cos\theta \end{bmatrix} $$

Das Obige kann gelöst werden, wenn Sie die Beschränkung bezüglich der Richtung der Tangente an den gekrümmten Pfad berücksichtigen (lassen Sie es uns bezeichnen $\phi$), dh $\tan\phi = \frac{V_{By}}{V_{Bx}}$.