Wie kann man Wahrscheinlichkeitsmultiplikations- und Additionsgesetze korrekt anwenden?

Question

Ich versuche, die Wahrscheinlichkeitsadditionsregel auf das folgende Problem anzuwenden.

In einer Schublade befinden sich 12 verschiedene Socken. Die folgende Tabelle zeigt die verschiedenen Sorten:

Dicke	klobig (C) oder dünn (T)
Stil	gestreift (S) oder dotty (D) oder glatt (P)
Farbe	rot (R) oder blau (B)

Dicke	Stil	Farbe
C.	S.	R.
C.	S.	B.
C.	D.	R.
C.	D.	B.
C.	P.	R.
C.	P.	B.
T.	S.	R.
T.	S.	B.
T.	D.	R.
T.	D.	B.
T.	P.	R.
T.	P.	B.

Basierend auf der Tabelle einige einfache Beobachtungen:

• Wahrscheinlichkeit, dass eine klobige Socke herausgenommen wird: 6:12
• Wahrscheinlichkeit, dass eine gestreifte rote Socke herausgenommen wird: 2:12

Hier bin ich aufgrund der Anwendung der Gesetze verwirrt:

• Wahrscheinlichkeit, dass eine dotty und rote Socke herausgenommen wird:

  • Wahrscheinlichkeit einer dotty Socke = 4:12
  • Wahrscheinlichkeit einer roten Socke = 6:12
  • Anwendung des Multiplikationsgesetzes, Wahrscheinlichkeit von Dotty und roter Socke = 4/12 * 6/12 = 1: 6
  • 1: 6 scheint die beobachteten Daten in der Tabelle korrekt wiederzugeben, daher gehe ich davon aus, dass das Multiplikationsgesetz in diesem Fall korrekt angewendet wird.

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Socke, die weder schlicht noch blau ist, herausgenommen wird:

  • Wahrscheinlichkeit einer einfachen Socke = 4:12
  • Wahrscheinlichkeit einer blauen Socke = 6:12
  • Anwendung des Additionsgesetzes, Wahrscheinlichkeit einer einfachen oder blauen Socke = 4/12 + 6/12 = 10:12
  • Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder eine einfache noch eine blaue Socke vorhanden ist, alles andere, dh 2:12 = 1: 6
  • Die beobachteten Daten in der Tabelle legen nahe, dass dies 4:12 = 1: 3 sein sollte
  • Was könnte an meinem Verständnis des Problems und / oder der Anwendung des Additionsgesetzes falsch sein?

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine dotty und rote Socke genommen wird, ist 1: 6 ist richtig.
Der Fehler bei der zweiten Methode:
Sei A ein Ereignis und B das zweite Ereignis.
Weder A noch B bedeuten (nicht A) und (nicht B)
Die Wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B ausgewählt werden, ist$P($nicht $A) \cdot P($nicht $B)$
In Ihrem Fall ist die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Socke, die weder schlicht noch blau ist, herausgenommen wird =$P($nicht blau$) \cdot P($nicht klar$)$
P (nicht blau) = $1 - \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
P (nicht einfach) = $1 - \frac{4}{12} = \frac{2}{3}$

Wahrscheinlichkeit, dass eine Socke, die weder schlicht noch blau ist, herausgenommen wird = $\frac{1}{3}$

Hoffe das hilft
BEARBEITEN:
P (A oder B) = P (A) + P (B) - P (A und B)
P (A und B) = P (A) .P (B) nur wenn A und B sind unabhängig. Unabhängig bedeutet , dass eine Wirkung auf einen wirkt sich nicht auf B.

Grundsätzlich
P (weder A noch B) = 1 P (A oder B) = 1 - P (A) - P (B) + P (A und B)
nun in diese Frage, A und B sind unabhängig, also P (A und B) = P (A) P (B)
Also,
P (weder A noch B) = 1 - P (A oder B) = 1 - P (A) - P (B) + P (A) P (B)
$---------------------------------------$Auch
P (weder A noch B) = nicht (P (A)) und nicht (P (B))
Also ist
P (weder A noch B) = (1 - P (A)) (1 - P (B) ) = 1 - P (A) - P (B) + P (A) P (B)
In beiden Fällen erhalten Sie das gleiche Ergebnis.
Wenn Sie weitere Zweifel haben, können Sie im Kommentar fragen