Wie legen Sie die Regelmäßigkeitsbedingungen für die Cramér-Rao-Untergrenze für den Stichprobenvarianzschätzer fest?
Lassen $X_1,X_2,\ldots,X_n \sim \text{IID } f(\theta)$ eine Zufallsstichprobe aus einer Verteilung mit Parameter sein $\theta$ und lass $S^2(\mathbf{x}_n) \equiv \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x}_n)^2$bezeichnen die Stichprobenvarianz. Ich möchte die Regelmäßigkeitsbedingungen für die Cramér-Rao-Untergrenze überprüfen , nämlich:
$$\begin{align} &(1) & & \mathbb{V}_\theta(S^2(\mathbf{X}_n))< \infty, \\[10pt] &(2) & & \frac{\partial}{\partial \theta} \int S^2 (\mathbf{x}_n) f(\mathbf{x}_n | \theta) \ dx = \int S^2(\mathbf{x}_n) \frac{\partial f}{\partial \theta} (\mathbf{x}_n | \theta) \ dx. \\[6pt] \end{align}$$
Ich würde sagen, dass $(1)$ ist offensichtlich, da $S^2$ ist endlich, aber ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll $(2)$. Kannst du mir helfen?
Antworten
Eigentlich Bedingung $(1)$ist nur erfüllt, wenn Sie der Verteilung Ihrer Zufallsvariablen eine wichtige Momentbedingung auferlegen. Die Varianz der Stichprobenvarianz für IID-Zufallsvariablen hat eine bekannte Form und ist genau dann endlich, wenn die zugrunde liegende Verteilung eine endliche Kurtosis aufweist. Also Zustand$(1)$ ist nur zufrieden, wenn dies der Fall ist.
Bedingung $(2)$ist eine Bedingung, die die Zulässigkeit beinhaltet, den Ableitungsoperator in das Integral zu bringen. Die allgemeine Regel für Ableitungen von Integralen ist durch die Leibniz-Integralregel gegeben , und die Regelmäßigkeitsbedingung gilt für den Fall, dass die Unterstützung der zugrunde liegenden Verteilung nicht vom Parameter abhängt$\theta$.