Wie man das intuitiv versteht $n$-dimensionaler Würfel, wenn die Dimension groß wird [Duplikat]

Question

Also las ich ^* das für den konvexen Körper, dh den Würfel$[-1,1]^n$ im $\mathbb{R}^n$hat die kleinste Kugel, die sie enthält, einen Radius$\sqrt{n}$, während die größte Kugel im Würfel einen Radius hat$1$.

Ebenfalls,

"... wenn die Dimension wächst, ähnelt der Würfel immer weniger einer Kugel."

Wie visualisiere ich diese Dinge wann? $n\geq 4$? Ich kann es einfach nicht sehen!

Es wäre großartig, wenn ich Hilfe bei der Intuition bekommen könnte, um die es hier geht. Vielen Dank!

^* Siehe Seite 2 von

Keith Ball, "Eine elementare Einführung in die moderne konvexe Geometrie" in Flavours of Geometry , Silvio Levy ed., Cambridge 1997.

Bearbeiten: Obwohl die vorgeschlagenen Antworten sehr gut sind, denke ich nicht, dass sie die bestimmte geometrische Struktur ansprechen, mit der ich mich in meiner Frage befasse.

Answer 1

Was lässt Sie denken, dass wir höhere Würfel und Kugeln visualisieren können? Zum$n=4$ Sie können Spiele wie die Verwendung eines Zeitschiebereglers spielen, um den Schnittpunkt Ihres Objekts mit dem zu zeichnen $xyz$-Hyperflugzeug, aber für $n>4$ Diese Art von Hacks wird sehr schnell nicht mehr verfügbar sein.

Die Intuition hinter Fakten wie den von Ihnen zitierten ist nicht Intuition, sondern Berechnung . In gewissem Sinne baut die Mathematik auf unserer Intuition für den 2-, 3- oder vielleicht sogar 4-dimensionalen Raum auf, womit ich meine, dass die meisten Definitionen etwas in diesen niedrigdimensionalen Welten nachahmen. Die Definitionen sind jedoch weitaus allgemeiner, da die Dimension unwesentlich ist. Daher können wir genauso gut versuchen, herauszufinden, was sie in höheren Dimensionen tun (Denken an Mannigfaltigkeiten). Es ist sicher schade, dass wir nicht sehen können, was dort passiert, weil sicher genug Dinge zusammenbrechen. Verteiler werden unglättbar oder weisen mehrere unterschiedliche glatte Strukturen auf, Klassifizierungsergebnisse sind nicht zu erhalten und Kugeln werden spitz und beginnen rechnerisch , eher fremd auszusehen und sich zu verhalten. Um ein Beispiel zu nennen: Die Poincare- Vermutung war eines der Jahrtausendprobleme (dh auf dem gleichen Schwierigkeitsgrad wie die Riemann-Hypothese oder$P$ vs. $NP$) und war ungefähr $3$-Kugeln. Höhere Geometrie ist schwer .

Auf der anderen Seite ist dies der ganze Spaß an abstrakter Mathematik. Intuitive Definitionen, die aus einer kleinen Sammlung von Beispielen abgeleitet wurden, weisen bald genug exotischere, aber interessantere Beispiele auf, was die Definition noch interessanter und studienwürdiger macht.