Wie repräsentiert die QFT den Frequenzbereich?
QFT wird oft durch das klassische Analogon erklärt, das eine bestimmte Funktion vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umwandelt. Wenn man die diskrete Fourier-Transformation betrachtet, ist es sinnvoll zu sehen, dass eine Sinuswelle bei einer bestimmten Frequenz zu einer Spitze wird.
Ich sehe jedoch nicht, wie dieser Begriff "Frequenzbereich" für die Quanten-Fourier-Transformation gilt. Wie repräsentiert die Fourier-Basis diesen Frequenzbereich?
Wenn wir eine QFT auf eine Quanten- "Sinuswelle" anwenden, gibt sie dann eine bestimmte Frequenz aus?
Antworten
Die Fourier-Transformation ist allgemeiner als der Übergang vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Zum Beispiel transformieren Physiker regelmäßig Fourier-Transformationen vom Positionsraum zum Impulsraum.
In diesen beiden Beispielen ist die Fourier-Transformation eine Basistransformation, dh sie transformiert die Basisvektoren, die zur Darstellung eines Zustands verwendet werden, ohne den Zustand selbst zu ändern. Ebenso ist die QFT einfach eine Basistransformation von der Rechenbasis zur Fourierbasis .
Um zu sehen, wie sich die QFT auf bekanntere Fourier-Transformationen bezieht, kann es hilfreich sein zu überlegen, wie ganze Zahlen sowohl auf der Rechenbasis als auch auf der Fourier-Basis dargestellt werden. Zur Veranschaulichung werde ich ein spezielles Beispiel der QFT für ein Vier-Qubit-System durchgehen.
In der Berechnungsbasis werden Ganzzahlen in binärer Form dargestellt (wobei das MSB gemäß Konvention links ist). Also für vier Qubits$$\vert 0 \rangle=\vert 0000 \rangle, \;\;\vert 1 \rangle=\vert 0001 \rangle, \;\; \vert 2 \rangle=\vert 0010 \rangle,\;\; ..., \;\; \vert 15 \rangle =\vert 1111 \rangle.$$ Algebraisch ist dies gegeben durch $$\vert n \rangle=\vert a(2^3)+b(2^2)+c(2^1)+d(2^0) \rangle=\vert abcd \rangle, \;\; a,b,c,d \in \lbrace 0,1 \rbrace, \; n \in \lbrace 0,...,15\rbrace.$$ Auf den vier Blochkugeln verbunden mit $\vert abcd \rangle$, abzählend von $\vert 0 \rangle$ zu $\vert 15 \rangle$sieht aus wie:
Sie können sehen, dass in der Bloch-Sphärendarstellung unterschiedliche Werte von $\vert n \rangle$ unterscheiden sich durch geordnete Sätze von Qubits entweder an ihrem Nordpol, $\vert 0 \rangle$oder ihr Südpol, $\vert 1 \rangle$. Intuitiv, während des Zählens, das dem LSB zugeordnete Qubit,$\vert d \rangle$ändert den Zustand bei jedem Schritt, während das dem MSB zugeordnete Qubit $\vert a \rangle$, ändert den Zustand bei jedem achten Schritt. [Beachten Sie, dass die Bloch-Kugel tatsächlich eine Riemann-Kugel ist (dh die komplexe Projektionslinie), also orthogonale Zustände, wie z$\vert 0 \rangle$ und $\vert 1 \rangle$, werden durch antipodale Punkte dargestellt.]
Die gleichen 16 ganzen Zahlen, die auf der Fourier-Basis dargestellt werden, $ \text{QFT} \vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle =\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle $ist algebraisch gegeben durch $$\vert \tilde n \rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2^4}}(\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^3} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^4} \vert 1 \rangle).$$ Nun zählen wir in der Fourier-Basis ab $\vert \tilde n \rangle = \vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle = \vert \tilde 0 \rangle$ zu $\vert \tilde {15} \rangle$ Alle vier Qubits ändern bei jedem Schritt den Status mit $\vert \tilde a \rangle$ die größten Schritte machen (dh zwischen wechseln $\vert + \rangle$ und $\vert - \rangle$, welches ist $\frac{1}{2}$ einer Umdrehung pro Schritt) und $\vert \tilde d \rangle$ die kleinsten Schritte machen ($\frac{1}{16}$ einer Umdrehung pro Schritt).
Auf den vier Blochkugeln verbunden mit $\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle$Das Zählen auf der Fourier-Basis erscheint als jeder Qubit-Zustand, der sich in der Äquatorialebene mit abnehmender Frequenz von dreht $\vert \tilde a \rangle$ zu $\vert \tilde d \rangle$.
In einer einzigen Zählsequenz von $\vert \tilde 0 \rangle$ zu $\vert \tilde {16} = \tilde 0 \, (\text{mod} \, \tilde {16}) \rangle$ die Qubits, die mit verbunden sind $\vert \tilde a \rangle, \, \vert \tilde b \rangle, \, \vert \tilde c \rangle$, und $\vert \tilde d \rangle$ genau machen $2^3, \, 2^2, \, 2^1$, und $2^0$volle Umdrehungen in ihren jeweiligen Äquatorialebenen. Ebenso, wenn wir "keine Rotation" in der Äquatorialebene als Zustand betrachten$H\vert 0 \rangle=\vert+\rangle$, dann $\vert \tilde 0 \rangle = \vert ++++ \rangle$ gibt alle Qubits ungedreht, während $\vert \tilde {15} \rangle$gibt alle Qubits bei ihrer maximalen Drehung (in positiver Richtung). [Beachten Sie, dass die Single-Qubit-QFT nur das Hadamard-Gate ist.$H$. Im Gegenzug,$H$ist einfach die 2-Level-DFT, wie in dieser vorherigen Antwort angegeben .]
In diesem Beispiel können Sie sehen, wie die hohe Größe damit verbunden ist$\vert a \rangle$ als Bestandteil von $\vert n \rangle$in der rechnerischen Basis entspricht eine hohe Frequenz mit$\vert \tilde a \rangle$ als Bestandteil von $\vert \tilde n \rangle$ in der Fourier-Basis und so weiter für $\vert b \rangle \,, \vert c \rangle$, und $\vert d \rangle$. Hoffentlich hilft dies, die Analogie zwischen QFT und DFT greifbarer zu machen.
Die oben verwendeten Gleichungen waren spezifisch für das Beispiel eines Vier-Qubit-Systems. Sie verallgemeinern natürlich zu$N$-Quit-Systeme als $$\vert n \rangle = {\Big \vert} \sum_{k=0}^{N-1} x_k 2^k {\Big \rangle} = \vert x_0 ... x_{N-1} \rangle, \; x_k = \lbrace 0,1 \rbrace, \, n= \lbrace 0,...,2^N-1 \rbrace,$$ $$\text{QFT}\vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^N}}(\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2} \vert 1 \rangle) \otimes ... \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2^N} \vert 1 \rangle).$$
Wenn Sie zusätzliche Vertrautheit und Komfort mit dem QFT suchen, ist es eine großartige Übung, sich davon zu überzeugen, dass beides $\vert n \rangle$ und $\vert \tilde n \rangle$ sind orthonormale Basen für $\mathbb{C}^{2^N}$. Eine weitere großartige Übung ist es, sich davon zu überzeugen$$QFT = \frac{1}{\sqrt{2^N}} \sum_{n=0}^{2^N-1} \, \sum_{\tilde n=0}^{2^N-1}e^{2 \pi i n \tilde n/2^N} \vert \tilde n \rangle \langle n \vert$$ ist ein einheitlicher Operator auf $\mathbb{C}^{2^N}$. (Beachten Sie, dass die Gültigkeit einer der Aussagen in diesen beiden Übungen die Gültigkeit der anderen impliziert.)
Wenn Sie die anwenden $n$-Quit QFT definiert als $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k = 0}^{N - 1}\sum_{n = 0}^{N - 1}a_n e^{2 \pi i n k/N}\left|k \right>$ auf einen Staat einwirken $\sum_{x = 0}^{N - 1}a_x\left|x\right>$ mit $N = 2^{n}$ auf einer Sündenwelle mit einer Frequenz $k$ definiert als $\frac{1}{2^{(n - 1)/2}}\sum_{x = 0}^{N -1}\sin(\frac{2 \pi x k}{N})\left|x\right>$ mit $n > 1$ und $k \neq 0$ Um zu vermeiden, dass nur Nullwerte verwendet werden, ist das Ergebnis $\frac{i}{\sqrt{2}}\left|k\right> - \frac{i}{\sqrt{2}}\left|N - k\right>$. Dies entspricht intuitiv der regulären Fourier-Transformation, die ergibt$\frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega - 2 \pi k) - \frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega + 2 \pi k)$ zum $sin(2 \pi kx)$ bei Verwendung der modernen Physikform ($\hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega t}dt$) und mit $\omega$Frequenz bezeichnen. Auf der anderen Seite die Welle$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x = 0}^{N - 1}e^{-2 \pi x k/N}\left|x\right>$ das eine echte Kosinuswelle mit einer imaginären Sinuswelle kombiniert, wird viel natürlicher direkt in transformiert $\left|k\right>$.
Die Entsprechung zur "Zeitvariablen" in der QFT ist nicht die Zeit, sondern die rechnerischen Basiszustände, aber die Beziehung zwischen den beiden Basen ist ähnlich der von Zeit und Frequenz. Wenn du nimmst$N$ gleichmäßig verteilte Punkte auf dem komplexen Einheitskreis, die zusammen über den gesamten Kreis verlaufen ($e^{-2\pi i x/N}$ zum $x$ von $0$ zu $N - 1$ geht im Uhrzeigersinn durch), dann mit der Wahrscheinlichkeitsamplitude $a_k$ jede Frequenz $k$ entspricht $\frac{a_k}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N - 1}e^{-2 \pi i x k /N}\left|x\right>$: Die intuitive Verknüpfung zur traditionellen "Frequenz" gibt an, wie oft der komplexe Einheitskreis vollständig eingekreist ist, wenn Sie die Basiszustände durchlaufen. Die Summe dieser Frequenzen für alle Frequenzen gibt wie gewohnt den ursprünglichen Zustand zurück.