Wie viele Löcher darf eine Projektion einer algebraischen Variante haben?

Question

Lassen $V$ eine geschlossene Unterart von sein $\mathbf{P}^n$. (Wir arbeiten über ein algebraisch geschlossenes Feld.) Definieren$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ durch $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$, wo $P_0$ ist der Punkt $(0,0,...,0,*)$ im $\mathbf{P}^n$.

Wenn nur $\pi$ wurden in allen definiert $\mathbf{P}^n$, $\pi(V)$ wäre eine geschlossene Unterart von $\mathbf{P}^{n-1}$. Es ist nicht und$V$ muss nicht die eine geschlossene Unterart von sein $\mathbf{P}^{n-1}$. (Einfaches Beispiel:$V:x_0^2 = x_1 x_2$.) Kann man das noch sagen $\pi(V)$ enthält $\overline{\pi(V)}\setminus W$, wo $W$ ist eine geschlossene Subvarietät positiver Codimension in $\overline{\pi(V)}$ und Grad $\leq \deg(V)$, sagen? Wie?

Answer 1

Sprengen Sie, um einen Morphismus zu erhalten $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$. Lassen$\widetilde{V}$ sei die richtige Transformation von $V$ im $Bl_{P_0}\mathbf P^n$. Dann$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$.

Jetzt können wir schreiben $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ wo $C_{P_0}V$ ist der Tangentenkegel von $V$ beim $P_0$.

Damit $\pi(V \setminus \{P_0\})$ (was in Ihrer Notation ist $\pi(V)$) enthält $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$.

Wie oben beschrieben, $\Pi(\widetilde{V})$ gleich $\overline{\pi(V)}$. Außerdem,$\mathbf P(C_{P_O}V))$ ist eine geschlossene Teilmenge des außergewöhnlichen Teilers $E$, und $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ ist ein Isomorphismus.

Also bekommen wir das $\pi(V)$ (in Ihrer Notation) enthält $\overline{\pi(V)} \setminus W$ wo $W \subset \mathbf P^{n-1}$ ist eine geschlossene Teilmenge, die isomorph zur Projektivierung des Tangentenkegels von ist $V$ beim $P_0$.

Das geschlossene Set $W$ hat Dimension $\operatorname{dim}(V)-1$. Andererseits,$\pi(V)$ hat die gleiche Dimension wie $V$ es sei denn $V$ ist ein Kegel, dessen Scheitelpunkt enthält $P_0$, aber in diesem Fall $\pi(V)$ ist ein geschlossener Satz.

Wie für Grad, der Grad von $\mathbf P(C_{P_O}V))$als Teilschema von$E$ entspricht der Vielzahl von $V$ beim $P_0$, ist daher oben durch begrenzt $\operatorname{deg}(V)$. Schon seit$W$ist (isomorph zu) der zugrunde liegenden geschlossenen Teilmenge dieses Schemas, sein Grad ist nicht größer als der des Schemas. Also haben wir$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ nach Bedarf.