Zeige, dass $dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t$ kann geschrieben werden als $X_t=(1-t)\int_{0}^{t}\frac{1}{1-s}dW_s$
Ich habe den folgenden Link zur Brownian Bridge-Definition gelesen und bin auf die folgende Aussage gestoßen (Aufzählungspunkt 9 im obigen Link):
Annehmen $W_t$ ist eine Standard-Brownsche Bewegung, definieren $X_1=1$, dann für $h \in [0,1]$, der Prozess $X_t$ ist eine Brownsche Brücke:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\frac{1}{1-h}dW_h \tag{1}$$
Ich kann den Beweis dieser Aussage im obigen Link tatsächlich verstehen und habe kein Problem mit der Behauptung, dass $X_t$oben ist eine Brownsche Brücke. Der Autor führt dann jedoch Folgendes aus:
"In Differentialform kann das Obige geschrieben werden als:"
$$dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t \tag{2}$$
Ich bin tatsächlich nicht in der Lage, die Differentialform mit der angegebenen Gleichung (1) zu verbinden $X_t$.
Wenn ich die Differentialform in der "Langhand" -Notation umschreibe, erhalte ich ($X_0:=0$):
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+\int_{h=0}^{h=t}dW_h=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Das Obige ist eindeutig nicht dasselbe wie die frühere Definition von $X_t$gegeben in Gleichung (1). Ich denke, es könnte eine Ito-Lemma-Anwendung für eine intelligent definierte Funktion geben$F(X_t,t)$, dass ich nicht herausfinden konnte (ich habe versucht, mit Varianten von herumzuspielen $F(X_t,t):=X_te^t$, aber ohne Erfolg).
Gibt es eine Möglichkeit, die Differentialgleichung (2) in (1) zu "lösen", oder hat der Autor einen Tippfehler gemacht?
Bearbeiten : Nachdem ich die Antwort gelesen habe, die im Kommentar unten verlinkt ist, und im Geiste meiner eigenen Antwort auf die Notation auf eine andere Frage hier , habe ich versucht, die verknüpfte Antwort mit der Langhandnotation umzuschreiben (weil ich Schwierigkeiten habe, einige der Schritte zu interpretieren der Kurznotation Antwort):
Ich bekomme immer noch eine falsche Antwort. Könnten Sie mir bitte helfen, herauszufinden, wo ich falsch liege? .
Der "Trick" in der verknüpften Antwort scheint darin zu bestehen, Itos Lemma auf eine Funktion anzuwenden $F(W_t,t):=\frac{W_t}{1-t}$. Die Derivate sind:
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{-W_t}{(1-t)^2}, \frac{\partial F}{\partial W_t}=\frac{1}{1-t}, \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}=0$$
Wir haben auch das:
$$W_t=W_0+\int_{h=0}^{h=t}a(W_h,h)_{=0}dh+\int_{h=0}^{h=t}b(W_h,h)_{=1}dW_h$$ so dass:
$$\frac{W_t}{1-t}=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial W}*a(W_h,h)_{=0}+\frac{\partial^2 F}{\partial W^2}_{=0}*b(W_h,h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\frac{\partial F}{\partial W}b(W_h,h)_{=1}dW_h=\\=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{1-h}\right)dW_h$$
Multiplizieren mit $1-t$ dann gibt:
$$W_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+X_t$$
Deshalb haben wir:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh+W_t$$
Konzentration auf den Begriff $(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh$, wir können schreiben:
$$\int_{h=0}^{h=t}\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)\frac{1}{1-h}dh$$
Beachten Sie, dass der Begriff in der Klammer oben, dh $\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)$in der Tat ist nicht gleich$X_h$ (wie in Gleichung (1) definiert), also haben wir das tatsächlich nicht:
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Antworten
Lassen $Y_{t} = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s}$. Als nächstes werfen Sie einen Blick auf
$$X_{t} = (1-t) \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s} = (1-t)Y_{t}$$
und differenziere mit It ^ o's Lemma
\begin{align*} dX_{t} &= -Y_{t}\, dt + (1-t)\, dY_{t} + d[ 1-t, Y_{t} ] \\ &= - Y_{t}\, dt + (1-t)\cdot \frac{1}{1-t}\, dW_{t} \\ &= -\frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t} \end{align*}
und so gibt es tatsächlich einen Tippfehler.
Wenn du lösen willst
$$dX_{t} = \frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t},$$
Verwenden Sie dann (wie bei ODEs) den Integrationsfaktor
$$\mu(t) = e^{-\int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, ds } = 1-t$$
SDE zu lösen
\begin{align*} d \left (X_{t}(1-t) \right) = (1-t)\, dX_{t} - X_{t}\, dt =: (1-t)\, dW_{t} \end{align*}
zur Lösung
\begin{align*} X_{t} = \frac{1}{1-t}X_{0} + \frac{1}{1-t} \int_{0}^{t} (1-s)\, dW_{s}. \end{align*}
Hinweis zur Vorsicht: Sie sollten das Lemma von It ^ o nicht anwenden, um die SDE zu lösen. Dies funktioniert nur, wenn es eine starke Lösung zulässt (vgl. Oksendal, Kapitel 5).