Zeige, dass $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [geschlossen]

Question

Könnte mir jemand einen Hinweis geben, wie man zeigt $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

Ich weiß, wie man beide Integrale getrennt macht, aber diese Frage führt zu einer anderen Art der Bewertung und erfordert, dass dies zuerst gezeigt wird. Als solches möchte ich die Äquivalenz zeigen, indem ich das Integral so manipuliere, wie es die Frage beabsichtigt, anstatt beide getrennt zu bewerten.

Ich habe versucht, mit beiden Seiten zu arbeiten, und ich habe das Gefühl, einen Trick zu verpassen. Die Verwendung der Teileintegration erhöht die Leistung des Nenners und es findet keine nette Stornierung statt (mit Ausnahme einer nicht verwandten Reduktionsformel). Ich kann auch keine großartige Substitution sehen.

Answer 1

Beachten Sie dies, indem Sie die Ersetzung erzwingen $x\mapsto 1/x$, wir finden

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

Und wir sind fertig!

Answer 2

Grundsätzlich wollen Sie das beweisen

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

Betrachten Sie das Integral in der $(1,\infty)$Intervall. Anwenden der Variablenänderung$y = 1/x$ wir bekommen

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

das ist eindeutig wahr.