Zeige, dass $-\left(\min_{w\in C}(w^\top s+\frac12\|w\|_2^2)\right)$ ist konvex oder zeigt, dass es konkav ist

Question

$$f(s)=-\left(\min_{w\in C}(w^\top s+\frac12\|w\|_2^2)\right)$$ wo $C$ ist ein kompaktes und konvexes Set $\mathbb{R}^n$

Ich glaube, dass die Funktion konkav ist, aber ich muss zeigen, dass sie konvex ist (was falsch sein könnte). Bitte geben Sie mir ein Ergebnis. Ich denke darüber nach, diesen Link zu verwenden, der antwortet, dass das Minimum einer parametrischen konvexen Funktion konvex ist, um zu beweisen, dass sie konkav ist.

Answer 1

Bei jeder Familie konvexer Funktionen ist das punktweise Supremum konvex. Siehe die Antwort hier: Beweisen Sie, dass das Supremum der Menge affiner Funktionen konvex ist

(Es wird davon ausgegangen, dass die Domäne kompakt ist, aber der Beweis verwendet dies nicht, und auf jeden Fall kann man immer davon ausgehen, dass die Domäne kompakt ist, indem man sich auf ein Liniensegment beschränkt.)

Multiplizieren mit $-1$erhalten wir, dass das punktweise Infimum konkaver Funktionen konkav ist.

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Affine Funktionen sind konkav, daher ist dies auch das Infimum bei der Definition von $f(s)$, so dass $f(s)$ist konvex. Dieses Argument erfordert das nicht$C$ ist konvex.

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Hinweis: Es ist nicht automatisch, dass das Minimum in Ihrer Frage vorhanden ist (dies kann mit Sicherheit fehlschlagen $C$ wenn der Begriff $\frac12 \lVert w \rVert^2$ist nicht da). Aber du kannst es schreiben als$$f(s) = \frac12 \lVert s \rVert^2 - \inf_{w \in C} \frac12 \lVert s + w \rVert^2 $$

und dieses Infimum wird erreicht, weil $C$ist geschlossen. Darüber hinaus sehen wir das$$f(s) = \frac12 \lVert s \rVert^2 - \frac12 d(s, -C)^2 \,.$$