Zeigen Sie, dass diese Familie bei $0$
Lassen $E$ sei ein normierter Vektorraum, $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ für kompakte $K\subseteq E$ und $\sigma_c(E',E)$ bezeichnen die anfängliche Topologie in Bezug auf $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$, dh die Subraumtopologie auf $E'$ geerbt von der Topologie der kompakten Konvergenz auf $C(K)$.
Lassen $\mathcal C\subseteq C(E')$ einheitlich sein $\sigma_c(E',E)$-äquikontinuierlich.
Warum können wir daraus schließen? $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
Höchstwahrscheinlich ist die gewünschte Behauptung trivial zu erhalten, aber ich kann aufgrund der ziemlich komplizierten Einstellung nicht sehen, wie.
$(1)$ ist offensichtlich eine Art Gleichkontinuität bei $0$. Ich bin nicht sicher, ob es relevant ist, aber nach dem Banach-Alaoglu-Theorem$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ ist $\sigma_c(E',E)$-Kompakt für alle $\delta>0$.
Antworten
Erinnern Sie sich an die Definition der einheitlichen Gleichkontinuität von$\mathcal{C}$ als Kartensatz $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$::
Für jede Nachbarschaft $V \subseteq \Bbb{R}$ von $O$ Es gibt eine Nachbarschaft $U$ von $0$ im $(E',\sigma_c(E',E))$ so dass $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
Jetzt für $\psi = 0$ und $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$Wir bekommen eine Nachbarschaft $U$ von $0$ so dass $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ eine Nachbarschaft von $0$ enthält einen Schnittpunkt von endlich vielen offenen Kugeln um den Ursprung der Radien $\delta_1, \ldots, \delta_k$ in Bezug auf die Seminorms von kompakten Sets $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$:: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ Sets $K_k$ sind in der Norm von einigen begrenzt $M_k > 0$ also wenn wir setzen $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ dann für jeden $\varphi \in E'$ wir haben $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ für alle $k=1, \ldots, n$ so $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
Wenn ich mich nicht irre, sollte dies ein Beispiel für ein allgemeineres Ergebnis sein: Lassen Sie
- $(X,\tau)$ sei ein topologischer Raum;
- $Y$ sei ein Normierter $\mathbb R$-Vektorraum;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ zum $\tau$-kompakt $K\subseteq X$ und $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ sei ein metrischer Raum;
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ in Bezug auf die lokal konvexe Topologie kontinuierlich sein $C(X,\tau;Y)$ generiert von $P$ und die Metrik $d$ auf $Z$.
Dann sehen wir das leicht $f$ ist kontinuierlich in Bezug auf die Norm $\overline p$ auf $C(X,\tau;Y)$ generiert von $P$ und die Metrik $d$ auf $Z$: Lassen $f\in C(X,\tau;Y)$ und $\varepsilon>0$. Durch die Kontinuitätsannahme auf$F$, da ist ein $P$-Nachbarschaft $N$ von $f$ mit $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ Lassen $U_p$ bezeichnen die offene Einheit Kugel in $$C(X,\tau;Y)$$ in Gedenken an $p\in P$. Wir können schreiben$N=f+N_0$ für einige $P$-Nachbarschaft $N_0$ von $0$. Darüber hinaus gibt es$k\in\mathbb N_0$, $\tau$-kompakt $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ und $\delta_0>0$ mit $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ Nun lass $\delta\in(0,1)$ mit $\delta\le\delta_0$. Dann,$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ und daher $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ dh $f$ ist kontinuierlich bei $f$ in Bezug auf die lokal konvexe Topologie auf $C(X,\tau;Y)$ generiert von $P$ und die Metrik $d$ auf $Z$.
Alternativ wäre dem Ergebnis sofort gefolgt worden, indem festgestellt worden wäre, dass die Topologie durch erzeugt wurde $P$ ist gröber als die von erzeugte Topologie $\overline p$, wie hier besprochen .
Nun, wenn $X$ ist ein normierter $\mathbb R$-Vektorraum und $\tau$ ist die Topologie, die von generiert wird $\left\|\;\dot\;\right\|_X$, dann $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ und damit die von erzeugte Topologie $\left\|\;\cdot\;\right\|$ ist gröber als die einheitliche Operatortopologie (dh die von erzeugte Topologie $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$). Das bekommen wir also sofort$F$ ist kontinuierlich in Bezug auf die von erzeugte Topologie $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ und die Metrik $d$ auf $Z$ auch.