Zeitabhängigkeit der Operatoren

Nov 21 2020

In Griffiths 'Einführung in die Quantenmechanik schrieb der Autor, während er die zeitliche Entwicklung des Erwartungswerts der Position untersuchte: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Damit $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Hat er das gerade angenommen? $x$hat keine zeitabhängigkeit? Und warum?

Antworten

2 AndreasMastronikolis Nov 21 2020 at 19:09

Hat er gerade angenommen, dass x keine Zeitabhängigkeit hat? Und warum?

Ja. Das Ergebnis eines Integrals der Form$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ ist eine Funktion der Zeit $t$;; Das heißt, eine Funktion einer reellen Variablen (oder, lose gesagt, das Integral wird zu einer Größe ausgewertet, von der es nicht abhängt$x$, nur an $t$). Also bei der Differenzierung$(1)$würde man bekommen: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$wie vom Leibniz-Integralsatz diktiert (beachten Sie, dass ich einige schwache Annahmen über das Verhalten von angenommen habe$f$, aber es ist hier nicht von unglaublichem Interesse). Eine triviale Anwendung davon in$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ ergibt das gewünschte Ergebnis.

1 spiridon_the_sun_rotator Nov 21 2020 at 08:35

Das sind zwei Formulierungen der Quantenmechanik:

  • Schrödinger Vertretung . Die zeitliche Entwicklung ist im Zustandsvektor Wellenfunktion codiert -$\Psi(x,t)$und die Observablen (Operatoren) sind zeitlich konstant
  • Heisenberg-Vertretung . Jetzt entwickeln sich die Operatoren zeitlich weiter und die Zustandsvektoren sind zeitunabhängig und bleiben fest.

Bei interagierenden Theorien gibt es eine hybride Interaktionsdarstellung . Hier entwickeln sich die Operatoren mit dem nicht interagierenden Hamilton-Operator$H_0$und die Zustände entwickeln sich über den Interaktionsteil $H_I$.

In Ihrem Fall verwendet der Autor also die Schrödinger-Darstellung.