Zwischenfelder der einfachen Erweiterung $\mathbb{C}(x)$

Dec 26 2020

Lassen $\mathbb{C}(x)$ sei das Feld der rationalen Funktionen vorbei $\mathbb{C}$. Natürlich$\mathbb{C}(x)$ ist eine Felderweiterung von $\mathbb{C}$. Meine Frage ist jetzt: Gibt es dazwischen Zwischenfelder?$\mathbb{C}$ und $\mathbb{C}(x)$? Wenn ja, was können wir über ihre Dimension sagen? Ist es immer unendlich?

Antworten

1 JyrkiLahtonen Dec 26 2020 at 22:44

Eine Zusammenfassung der Kommentare (ohne Wiederholungen führt dazu, dass sie separat veröffentlicht werden sollten!) Unten $K$ steht für ein willkürliches Zwischenfeld, das genau dazwischen liegt, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.

  1. weil $\Bbb{C}$ist algebraisch geschlossen, es hat keine algberaischen Erweiterungen. Daher keine endlichen Erweiterungen. Deshalb$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
  2. Auf der anderen Seite, wenn $u=f(x)/g(x)$ ist ein beliebiges Element von $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, dann $x$ ist eine Null des Polynoms $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ Deshalb $x$ ist algebraisch vorbei $K$. Daher$[K(x):K]<\infty$. Aber,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, so können wir daraus schließen $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. Mehr kann man nicht sagen, wie wir das leicht sehen$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ für jede positive ganze Zahl $n$, so kann der Verlängerungsgrad beliebig hoch sein.
  3. Nach dem Satz von Lüroth jedes Zwischenfeld$K$ ist eigentlich eine einfache transzendentale Erweiterung von $\Bbb{C}$. Mit anderen Worten,$K$ ist $\Bbb{C}$-isomorph zu $\Bbb{C}(x)$.