$A$ adalah matriks nyata dan untuk beberapa $k\geq 2,A^{k}$ mirip dengan matriks ortogonal, bagaimana membuktikan $A$ juga mirip dengan matriks ortogonal?

Aug 17 2020

Upaya saya.

$A^{k}=POP^{-1}$.Sini $O$ adalah matriks ortogonal. Saya ingin mencari matriks ortogonal $O_{1}$ dan $O_{1}^{k}=O.$ Saya pikir ini bisa dilakukan karena matriks yang dapat dibalik selalu memiliki 'akar kuadrat'. Tetapi bahkan jika ini dapat dilakukan dan$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$Ini tetap tidak akan memberikan informasi apapun tentang $A$Jadi bagaimana menggunakan informasi yang diberikan oleh beberapa bentuk kanonik $A^{k}$ untuk mencari informasi tentang $A$?

Upaya lebih lanjut.

Saya pikir mungkin saya harus mempertimbangkan masalah ini $\mathbb{C}.$Begitu $O$ adalah matriks normal kompleks khusus. Jadi dengan teorema spektral $O$ dapat didiagonalisasi $\mathbb{C}$.Ini berarti $A^{k}$ dapat didiagonalisasi dan modulus nilai eigennya adalah 1. Begitu juga dengan A. $A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$ Jelas bahwa M mirip dengan matriks ortogonal di $\mathbb{C}.$

Bukti ini cukup aneh karena seringkali kita hanya mempertimbangkan $\mathbb{R}$ ketika berbicara tentang matriks ortogonal dan masalahnya sendiri tidak menyatakan bidang yang kita gunakan.

Apakah ada solusi yang lebih baik？

Jawaban

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

Saya berasumsi $P$adalah matriks bernilai nyata. (Jika itu membutuhkan$\mathbb C$ di bawah ini dapat sedikit diubah untuk merenungkan bentuk-bentuk Hermitian.)

Pertimbangkan ruang vektor koordinat yang diberikan oleh $V=\mathbb R^n$ dan operator linier pada ruang ini diberikan oleh $T:= P^{-1}AP$. Itu sudah cukup untuk menunjukkan itu$T$mirip dengan matriks ortogonal nyata. Sejak$T^k$ adalah nonsingular, begitu juga $T$.

Dengan $\langle, \rangle$yang menunjukkan hasil kali dalam nyata standar, kami mendefinisikan bentuk bilinear simetris kustom berikut . Untuk$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
Jelas sekali bahwa bentuk ini pasti positif. Pemberitahuan selanjutnya

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

Ini menyiratkan $T$ adalah operator ortogonal sehubungan dengan bentuk bilinear khusus.

Sekarang hitung gambar $T$ sehubungan dengan dasar yang dipilih dengan baik
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
dimana $\mathbf B$dipilih menjadi beberapa dasar ortonormal sehubungan dengan bentuk bilinear adat dan$Q$adalah beberapa matriks. Karena ruang vektor kita adalah$V=\mathbb R^n$, kami mencatat itu $\mathbf B$ dapat juga diartikan sebagai matriks yang dapat dibalik.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$ortogonal sehubungan dengan produk dalam standar .

Akhirnya
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

jadi $T$ mirip dengan matriks ortogonal

pembenaran rinci itu $Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$ dan $v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$ dan $\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
dan dengan perhitungan yang hampir identik $\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
dimana implikasinya mengikuti karena $\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
Sejak di atas berlaku untuk pemilihan sewenang-wenang $\mathbf x$ dan $\mathbf y$ kami menyimpulkan itu $Q$ortogonal sehubungan dengan produk dalam standar .

catatan
di atas juga memberikan bukti mengapa$M^k = I$ menyiratkan itu $M$ dapat didiagonalisasi $\mathbb C$, sebagai $I$hanyalah kasus khusus dari matriks ortogonal nyata. Di atas menunjukkan itu$M$ mirip dengan matriks ortogonal nyata yang menurut teorema spektral mirip dengan matriks diagonal (di atas $\mathbb C$). Bukti standar dari hasil ini yang akan Anda lihat di situs ini menggunakan argumen polinomial minimal, meskipun polinomial minimal tampaknya tidak berlaku juga untuk pertanyaan OP.