Akibat wajar dari ketidaksetaraan Doob untuk submartingales umum
Saya telah mencoba untuk membuktikan hasil sebagai berikut:
Membiarkan $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$menjadi submartingale atau supermartingale. Gunakan Ketimpangan Doob dan Dekomposisi Doob untuk menunjukkannya, untuk semua$n \in \mathbb N$ dan $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ dimana $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.
Versi ketidaksetaraan Doob yang kami gunakan adalah untuk versi apa pun $p \geq 1$, $\lambda > 0$, dan martingale atau submartingale positif $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ Ini cukup untuk membuktikan hasil ini ketika $X$adalah sub-artingale. Menggunakan dekomposisi Doob$X = M+A$, $M$ sebuah martingale dan $A$ proses yang dapat diprediksi meningkat dengan $A_0 = 0$ (begitu $A$adalah submartingale positif), seseorang sebenarnya dapat menunjukkan ketidaksetaraan yang lebih kuat. Memang, sejak itu$A$ positif dan meningkat, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. Dan sejak itu$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ dari mana setelah itu $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ Menggunakan ketidaksetaraan ini, berikut itu \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} Pertanyaan saya ada dua:
- Apakah ada kesalahan dalam argumen ini, seperti kesalahan dalam asumsi saya atau asumsi yang tidak dapat dibenarkan yang tidak saya sadari? Dan jika tidak,
- Apakah ada alasan mengapa buku yang saya gunakan ( Teori Probabilitas Klenke : A Comprehensive Course ) menggunakan koefisien$12$ dan $9$ daripada $9/2$ dan $6$? Apakah hasil yang dinyatakan lebih klasik atau lebih mudah untuk ditampilkan menggunakan properti martingales dan dekomposisi Doob yang lebih mendasar?
Masalah ini juga dibahas di sini , tetapi utas ini tidak benar-benar membahas kesewenang-wenangan koefisien$12$ dan $9$. Adakah yang bisa memberikan wawasan?
Jawaban
Ini hanya sebagian dari jawaban karena saya tidak menyentuh bukti Anda atau teknik yang digunakannya, tetapi terlalu panjang untuk komentar. Intuisi saya adalah bahwa koefisiennya berubah-ubah karena tidak optimal. Berikut ini satu kemungkinan perbaikan, yang saya ambil dari buku Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus oleh Jean-François Le Gall (p. 263)
Ketimpangan maksimal Jika$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ adalah supermartingale untuk semua $\lambda>0$ dan $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
Bukti (bukan di buku). Memperbaiki$\lambda>0$ dan $k\in\mathbb{N}$. Membiarkan$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. Tentukan waktu berhenti$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$, dan perhatikan itu $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. Sejak$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ adalah supermartingale $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ Sekarang, ayo $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ dan $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. Kita punya$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ Menata ulang dan menjumlahkan dua pertidaksamaan memberi $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ Ngomong-ngomong, kami juga membuktikan bahwa batas atas yang lebih baik adalah $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.