Aku s $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ isomorfik menjadi $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ atau $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

Question

Aku s $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ isomorfik menjadi $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ atau $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

kupikir $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ karena yang pertama bukan bidang sejak ($x^{2} + 2x + 1$) dapat direduksi, tetapi yang terakhir adalah bidang sejak $(x^{2}+1)$tidak bisa direduksi. Apakah ini benar?

Saya tidak yakin tentang dering kedua.

Answer 1

Ya, Anda benar tentang yang pertama. Salah satu cara untuk menunjukkannya juga$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ adalah untuk mencatat itu $(x+1)^2 = 0$ di $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$ sedangkan kuadrat dari setiap elemen bukan nol $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ bukan nol, jadi mereka tidak bisa isomorfik.