Aku s $x$ elemen aljabar di atas bidang fungsi rasional $K(x)^p$?

Question

Pertanyaan: Apakah $x \in K(x)$ elemen aljabar di atas lapangan $K(x)^p$?

Edit: Biarkan $K$ menjadi ladang dengan char ($K)=p>0$ dan biarkan $K(x)$ menjadi bidang fungsi rasional di atas $K$.

Upaya saya: Saya pada dasarnya mencoba menjawab ini dengan mengacu pada:

Bidang $K (x)$ fungsi rasional berakhir $K$, elemen $x$ tidak punya $p$akar th.

Misalkan sebaliknya $x$ aljabar berakhir $K(x)^p$, sehingga $x$ adalah akar dari beberapa $p$polinomial -degree sedemikian rupa; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$

$f(x)^p=g(x)^p * x$

Di sini kita melihat kontradiksi sejak derajat $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ dan $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.

Saya benar-benar tersesat tentang ini, saya telah menggunakan edisi ke-4 Aljabar Abstrak oleh Beachy dan hampir tidak ada yang menyebutkan bidang rasional. Setiap petunjuk dan mungkin saran tentang sumber daya di mana saya dapat mengetahui lebih lanjut tentang bidang rasional akan sangat dihargai, terima kasih!

Answer 1

$x$ sebenarnya aljabar sudah berakhir $K(x)^p$ (perhatikan komentar untuk pertanyaan, kami hanya membutuhkannya $x^p\in K(x)^p$. Saya pikir mungkin membingungkan Anda di cincin mana kami mencoba menemukan polinomial yang memiliki$x$sebagai root. Untuk mengatasi masalah notasi ini, sebut saja$F:=K(x)^p$.

Sekarang $x$ aljabar berakhir $F$ jika ada beberapa polinomial $g\in F[Y]$ st $g(x)=0$. Mari kita lihat polinomialnya$g=Y^p-x^p$. Kami tahu itu$x^p\in F$, jadi $g\in F[Y]$. Jelas juga$g(x)=x^p-x^p=0$, jadi $x$ aljabar berakhir $F$.

Answer 2

Saya berasumsi bahwa Anda bermaksud untuk $K$ memiliki karakteristik $p>0$. Mungkin Anda terlempar oleh kemungkinan itu$K$ tidak sempurna, dalam hal ini $\bigl(K(x)\bigr)^p$ berbeda dengan $K(x^p)$. Namun, jangan khawatir: untuk tujuan kita, itu tidak masalah.

Mari pertimbangkan bidang bidang Anda $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$, di mana ada elemen $x^p$. Saya akan menyebut elemen ini$t$. Kami mencatat bahwa ada isomorfisme medan$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, oleh $\varphi(f)=f^p$. Dan gambar elemennya$x$ dari $K(x)$ aku s $t\in\mathscr L$; sama seperti$x$ tidak punya $p$akar -th dalam $K(x)$, jadi $t$ tidak punya $p$akar -th dalam $\mathscr L$. Jadi$\mathscr L$-polynomial $X^p-t$ tidak dapat direduksi ($\dagger$). Ini memiliki root kembali$K(x)$, meskipun, yaitu $x$. Dan itu dia.

($\dagger$) Saya telah menggunakan fakta itu di lapangan $k$ karakteristik $p$, $X^p-b$ baik memiliki akar $k$ atau adalah $k$-ireducible.