Aljabar Abelian von Neumann Maksimal

Question

Membiarkan$H$menjadi ruang Hilbert dari fungsi bernilai kompleks pada$\mathbb{R}$yang dapat diintegralkan dengan ukuran Lebesgue.

Apa yang dimaksud dengan aljabar von Neumann maksimal konkret dari$\mathcal{B}(\mathcal{H})$?

Answer 1

Ada banyak masas di$B(H)$. Mereka dapat diklasifikasikan dalam dua anak, diskrit dan kontinu.

Contoh kanonik dari masa berkelanjutan dalam pengaturan Anda adalah$L^\infty(\mathbb R)$, dilihat sebagai operator perkalian.

Contoh kanonik dari masa diskrit adalah masa diagonal : Anda memperbaiki basis ortonormal$\{e_n\}$, dan pertimbangkan proyeksi ortogonal yang sesuai$\{E_n\}$. Kemudian$$ A=\{\sum_ka_kE_k:\ a\in\ell^\infty(\mathbb N)\} $$akan menjadi masa diagonal yang sesuai dengan basis ortonormal$\{e_n\}$. Bukannya Anda mendapatkan apa-apa, tetapi jika Anda ingin membuat beton ini, Anda dapat mengambil$\{e_n\}$menjadi Polinomial Hermite . Atau Anda dapat menggunakan indeks ganda dan tentukan$$ e_{n,m}=e^{2\pi in(x-m)}\,1_{[m,m+1)},\qquad n,m\in\mathbb Z. $$Ini akan membuat$$ (E_{n,m}f)(x)=\langle f,e_{n,m}\rangle\,e_{n,m}=\bigg(\int_m^{m+1}f(t)\,e^{-2\pi i (t-n)}\,dt\bigg)\,e^{2\pi in(x-m)}\,1_{[m,m+1)}. $$Pada kasus ini$A$akan terdiri dari operator$$ (T_af)(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}a_{n,m}\,\bigg(\int_m^{m+1}f(t)\,e^{-2\pi i (t-n)}\,dt\bigg)\,e^{2\pi in(x-m)},\qquad x\in[m,m+1), $$di mana$a\in\ell^\infty(\mathbb Z^2)$.