Apa arti integral dengan batang horizontal yang melaluinya?

Question

Dalam buku "Handbook of Mathematical Functions" oleh Abramowitz dan Stegun, saya menemukan simbol integrasi ini dalam beberapa persamaan pertama yang mendefinisikan fungsi integral eksponensial, digambarkan di bawah ini. Apakah ini berarti apa-apa, atau itu kesalahan pencetakan?

Answer 1

Menurut salinan digital dari teks yang dihubungkan oleh pengguna Chappers , notasi ini adalah nilai prinsip Cauchy. Penggunaan ini tercantum dalam indeks notasi yang agak ekstensif di akhir teks—khususnya, di bagian berlabel Miscellaneous Notation .

Nilai Pokok Cauchy adalah cara untuk menetapkan nilai ke integral "tidak tepat" tertentu yang jika tidak, tidak akan terdefinisi. Jika$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$memiliki singularitas pada$c \in [a,b]$, maka nilai Cauchy Principal diberikan oleh

$$ -\kern-9pt\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x := \lim_{\varepsilon\searrow 0} \left[ \int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{c+\varepsilon}^b f(x)\,\mathrm{d}x\right].$$

Definisi serupa berlaku jika$f$memiliki singularitas di tak terhingga:

$$ -\kern-9pt\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f(x)\,\mathrm{d}x. $$

Dalam kasus kedua ini, lebih mudah untuk melihat bagaimana nilai pokok Cauchy berbeda dari metode "biasa" untuk menetapkan nilai ke integral tak wajar. Dalam pengaturan biasa, kami mendefinisikan$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x := \lim_{a\to-\infty} \int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x + \lim_{b\to\infty} \int_{c}^{b} f(x),\mathrm{d}x, $$di mana$c$adalah sembarang bilangan real. Menggunakan definisi standar ini, fungsi sinus tidak dapat diintegrasikan ke seluruh garis nyata. Namun, nilai prinsip Cauchy memang ada:

$$ -\kern-9pt\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} \sin(x) \,\mathrm{d}x = 0, $$karena sinus adalah fungsi ganjil.

Perlu juga dicatat bahwa$-\kern-7.5pt\int$bukan notasi standar untuk nilai pokok Cauchy. Sebagian besar penulis akan, sebaliknya, menggunakan notasi$PV\kern-4pt\int$, atau yang serupa. Juga, notasi$-\kern-7.5pt\int$digunakan oleh penulis lain untuk mengartikan sesuatu yang berbeda. Misalnya, dalam teksnya tentang PDE , Evans menggunakan$-\kern-7.5pt\int$untuk menunjukkan integral rata-rata di atas bola, yaitu$$ -\kern-9pt\int_{B(x,r)} f(y)\,\mathrm{d}y = \frac{1}{\mu(B(x,r))} \int_{B(x,r)} f(y)\,\mathrm{d}y,$$di mana$B(x,r)$menunjukkan bola di$n$-ruang Euclidean berdimensi dengan pusat$x$dan radius$r$, dan$\mu(B(x,r))$menunjukkan$n$-volume dimensi (ukuran Lebesgue) dari bola itu.