Apa definisi definisi?
Dalam logika matematika atau sistem formal lainnya, apa definisi definisi secara formal?
Jika "A" diartikan sebagai "B", apa definisi dari "A"? Apakah ini melibatkan "A" dan "B" (misalnya "A: = B"), atau hanya "B"?
Misalnya, pada p126 di §3. Ekstensi menurut Definisi dalam Interpretasi Sintaksis VIII dan Bentuk Normal dalam Logika Matematika Ebbinghaus , anggaplah bahwa$S$ adalah kumpulan simbol (non-logis),
3.1 Definisi. Membiarkan$\Phi$ menjadi satu set $S$-sentences.
(a) Misalkan $P \notin S$ adalah $n$simbol relasi -ary dan $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})$ sebuah $S$-rumus. Lalu kami katakan itu$$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $$ adalah $S$-definisi $P$ di $\Phi$.
Yang harus saya sebut sebagai file $S$-definisi $P$ di $\Phi$:
$ \forall v_0, .... \forall v_{n-1} (P v_0 ... n_{n-1} \leftrightarrow \phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $?
Apakah melingkar untuk didefinisikan $P$ dalam hal itu sendiri?
Adalah $𝑆$-definisi $𝑃$ di $Φ$ interpretasi simbol $P$ sebagai sebuah $S'$-kalimat? (sebagai bagian dari interpretasi sintaksis dari$S'$ di $S'$ diri?)
Apakah penampilan $P$ dalam definisinya sendiri $∀ 𝑣_0,....∀ 𝑣_{𝑛−1}(𝑃𝑣_0...v_{𝑛−1}↔𝜙_𝑃(𝑣_0,...,𝑣_{𝑛−1}))$, dalam arti yang sama seperti tampilan $A$ di $𝐴:=𝐵$?
$\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $? (Saya rasa itu$P$ didefinisikan sebagai $\phi_P(v_0, ... , v_{n-1})) $ di $\Phi$.)
$\phi_P$? (Bandingkan dengan yang kedua:$P$ itu sendiri tidak melibatkan variabel)
Lihat Bagaimana definisi ini mendefinisikan simbol$P$ di luar set simbol $S$ sebagai $S$-kalimat?
Terima kasih.
Jawaban
Kami punya tanda tangan $S$ dan kami memperluasnya ke $S':=S\cup\{P\}$.
Itu $S$-definisi $P$ adalah $S'$-rumus $$\forall v_0\dots v_{n-1}: Pv_0\dots v_{n-1}\leftrightarrow \phi_P(v_0,\dots,v_{n-1})$$yang secara formal dapat ditangani sebagai aksioma ekstra dari yang diberikan$S$-teori yang kami kerjakan, sehingga menghasilkan yang setara $S'$-teori, di mana simbol $P$dapat digunakan sebagai singkatan dari rumus$\phi_P$.
Misalnya, rumus di bawah ini adalah definisi relasi pemesanan biasa $\le$ dari bilangan bulat nonnegatif dalam bahasa tersebut $(0,+)$: $$\forall x,y:\ x\le y\,\leftrightarrow\,\exists z: x+z=y$$
Di bawah ini saya akan mencoba menjelaskan prosesnya dengan cara yang lebih intuitif, kemudian membahas kekhawatiran Anda tentang sirkularitas. Saya menduga poin yang terakhir mungkin sebenarnya lebih membantu, jadi silakan membaca bagian kedua terlebih dahulu - dan khususnya, moto yang disorot di sana menurut saya akan cukup membantu.
(Re: komentar terakhir Anda, definisinya adalah $(1)$- hal yang memberi tahu Anda bagaimana simbol baru berperilaku, dalam kaitannya dengan simbol lama yang sudah Anda miliki dan pahami.)
Frasa kuncinya di sini adalah " perluasan menurut definisi ".
Secara intuitif, kami memikirkan proses berikut:
Dimulai dengan tanda tangan $S$ dan beberapa set $\Phi$ dari $S$-sentences, kami menjadi sedikit terganggu oleh inefisiensi : ada beberapa hal yang dapat kami bicarakan$S$-formula tetapi hanya secara tidak langsung. Pikirkan misalnya tentang bahasa teori himpunan,$\{\in\}$: kami dapat mengungkapkan hal-hal seperti "$x$ adalah produk Kartesius dari $y$ dan $z$"dalam bahasa ini, tetapi hanya melalui rumus yang sangat panjang. (Ini adalah latihan yang baik untuk menangani contoh sebelumnya - menggunakan, katakanlah, pasangan Kuratowski.)
Jadi mengingat rumus kami yang sangat rumit $\varphi(x_0,...,x_{n-1})$, kami ingin menyiapkan teori baru yang pada dasarnya sama dengan $\Phi$ kecuali bahwa itu juga memiliki "singkatan" untuk $\varphi$.
Pertama, ini berarti kami ingin memperbesar bahasa kami: daripada bekerja dengan $S$ kami ingin bekerja dengan $S\cup\{R\}$ untuk beberapa $n$simbol hubungan -ary $R\not\in S$ yang ingin kami sajikan sebagai singkatan $\varphi$.
Sekarang kita harus mendefinisikan teori dalam bahasa yang lebih luas ini. Teori ini harus memasukkan apa yang sudah kita miliki (yaitu,$\Phi$), harus mendikte perilaku $R$ (artinya, katakanlah itu singkatan dari $\varphi$), dan tidak boleh melakukan apa pun. Hal ini membuat kami mempertimbangkan teori baru$$\Phi':=\Phi\cup\{\forall x_0,...,x_{n-1}(R(x_0,...,x_{n-1})\leftrightarrow \varphi(x_0,...,x_{n-1})\}.$$
Bagian dari $S,\Phi$, dan $\varphi$ untuk $S\cup\{R\}$ dan $\Phi'$adalah perluasan menurut definisi . Kami memiliki beberapa redundansi yang serius di sini: dalam arti yang tepat,$\Phi'$ benar-benar tidak lebih baik dari $\Phi$. (Secara formal,$\Phi'$adalah perpanjangan konservatif dari$\Phi$ dalam arti yang sekuat mungkin: setiap model $\Phi$ memiliki satu perluasan ke model $\Phi'$.) Ini tidak mengherankan. Kami sudah tahu kami bisa mengungkapkan hal yang kami pedulikan melalui$\varphi$, kami hanya ingin melakukannya lebih cepat.
Secara kebetulan, perhatikan bahwa ini menunjukkan versi alami yang "efisien secara maksimal" dari teori apa pun: tambahkan saja simbol baru untuk setiap rumus! Ini disebut Morleyization , dan kadang-kadang berguna (meskipun biasanya agak konyol ).
Oke, sekarang bagaimana dengan sirkularitas yang Anda khawatirkan?
Pertama, perhatikan bahwa "$R$"itu sendiri hanyalah sebuah simbol. Kalimat baru yang kami tambahkan sebenarnya bukan definisi $R$, melainkan definisi dari arti $R$, atau jika Anda lebih suka aturan yang mengatur perilaku$R$.
Lebih serius lagi, sirkularitas tidak pernah menjadi masalah di FOL! Ide utamanya adalah sebagai berikut, yang menurut saya merupakan penyimpangan penting dari intuisi yang mungkin dibawa dari pemrograman:
Seperangkat kalimat orde pertama tidak menciptakan sesuatu, itu menjelaskan banyak hal.
Secara khusus, satu set kalimat urutan pertama $\Phi$mengukir kelas struktur tertentu, yang di dalamnya merupakan deskripsi yang akurat. Misalnya, set yang mungkin tampak berbahaya$$\{\forall x(P(x)\leftrightarrow P(x))\}$$ dan $$\{\forall x(Q(x)\leftrightarrow \neg Q(x))\}$$benar-benar bebas lingkaran; mereka hanya kosong (= memegang setiap struktur) dan kontradiktif (= tidak memiliki struktur) masing-masing.