Apa logika definisi batasan yang tepat?

Aug 18 2020

Saya seorang mahasiswa baru belajar kalkulus dari Thomas. Saat ini saya sedang mempelajari definisi batas yang tepat menggunakan metode epsilon delta untuk digunakan dalam pembuktian, dll.

Saya perhatikan bahwa ketika membuktikan batas suatu fungsi, batas tersebut diberikan terlebih dahulu dan kemudian metode delta epsilon digunakan. Tapi bukankah ini seperti meletakkan gerobak di depan kudanya.

Misalnya katakanlah saya perlu membuktikan batas 5x-3 pada x-> 1. Tampaknya urutan yang ditentukan hanya menggunakan aturan substitusi untuk polinomial, dapatkan 2 sebagai Batas, lalu gunakan metode delta epsilon untuk menunjukkan batasnya memang di 2. Ini membingungkan saya karena seharusnya batasnya menjadi 'tidak diketahui 'pertama dan bukti digunakan untuk menurunkan limit sebagai 2. Bagaimana saya tahu sejak awal bahwa limit 2 harus digunakan sebagai titik awal? Urutan logis muncul di belakang saya.

Jawaban

2 peek-a-boo Aug 17 2020 at 23:07

Pertama-tama Anda memerlukan kandidat yang sesuai / tebakan terpelajar untuk mengetahui batasan yang seharusnya. Kemudian, baru setelah itu, Anda dapat menggunakan definisi yang tepat untuk MEMBUKTIKAN bahwa tebakan awal Anda memang benar. Juga, Anda dapat melihat bahwa ini adalah yang terbaik yang dapat Anda lakukan hanya dari bagaimana definisi batasan diberikan:

Definisi.

Membiarkan $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ menjadi sebuah fungsi, $a\in\Bbb{R}$. Kami bilang$f$ memiliki batas terbatas pada $a$ jika ada $l\in \Bbb{R}$ seperti itu untuk setiap $\epsilon>0$, disana ada $\delta>0$ seperti itu untuk semua $x\in\Bbb{R}$, jika $0<|x-a|<\delta$ kemudian $|f(x)-l|< \epsilon$.

(Dalam hal ini, kami dapat membuktikannya $l$ unik dan kami menandainya sebagai $\lim_{x\to a}f(x)$)

Perhatikan bagaimana definisi dimulai dengan "ada $l\in \Bbb{R} \dots$"Hanya dari cara pengungkapannya, itu menunjukkan bahwa bahkan sebelum memeriksa $\epsilon,\delta$ kriteria, Anda harus memiliki nilai kandidat untuk batasnya $l$. Tidak ada definisi yang memberi tahu Anda apa$l$ adalah atau bagaimana cara menebak ini (seperti "tebak-tebakan" adalah sesuatu yang Anda pelajari seiring Anda mempelajari lebih lanjut).

Misalnya, jika Anda memiliki dua fungsi $f$ dan $g$, dengan $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ dan $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$, maka jika yang Anda lakukan hanyalah menatap definisi batasan, tidak mungkin Anda dapat membedakannya $f+g$ juga memiliki batas dan batas itu sama $l_1+l_2$. Tebakan yang wajar adalah jika$f+g$ memiliki batas, maka sebaiknya $l_1+l_2$.

Kemudian, setelah Anda memiliki tebakan ini, Anda kemudian melanjutkan untuk membuktikannya dengan tepat $\epsilon,\delta$ definisi (di mana inti dari pembuktiannya adalah pertidaksamaan segitiga).