Apa perbedaan antara kedua solusi dari pertanyaan probabilitas ini?

Question

Masalahnya: 8 bola identik ditempatkan secara acak dalam tiga kantong. Berapa probabilitas tas pertama akan berisi 3 bola?

Solusi yang saya dapatkan: Kami dapat mendistribusikan 8 bola identik di antara 3 tas berbeda dalam 45 cara. Dari 45 cara tersebut, dalam 6 cara tersebut, kantong pertama akan berisi tepat 3 bola. Jadi, kemungkinannya adalah$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$

Tetapi dengan distribusi binomial, dan, inilah cara sebagian besar orang (di Quora) memecahkan pertanyaan ini, dan, pendekatan ini juga tampaknya cukup intuitif, probabilitas sebuah bola akan ditempatkan di kantong pertama adalah 13. Probabilitasnya bahwa tepat 3 dari 8 bola yang akan masuk ke kantong pertama dapat ditemukan dengan menggunakan distribusi binomial:

8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273

Saya hanya ingin tahu, mengapa jawaban dari kedua pendekatan ini sangat berbeda?

Answer 1

Masalahnya mengatakan bahwa bola-bola tersebut ditempatkan "secara acak", tetapi ini tidak menentukan distribusi atau proses acak di mana bola-bola itu ditempatkan. Jawabannya pasti tergantung pada informasi itu. Sebagai contoh:

• Jika seseorang mendaftar semua 45 cara dimana bola bisa berakhir, dan kemudian memilih salah satu dari 45 cara tersebut secara acak, maka jawabannya adalah$2/15$ seperti yang Anda katakan.
• Jika, secara independen , setiap bola ditempatkan di salah satu dari tiga kantong secara seragam secara acak, maka jawabannya adalah$1792/6561$ seperti yang dikatakan jawaban Quora.

Ini bukan hanya dua kemungkinan. Jika seseorang membalik koin, dan meletakkan semua bola di tas pertama jika koin itu kepala dan meletakkan semua koin di tas kedua jika koin itu buntut, itu tetap menempatkan bola "secara acak", tetapi jawabannya pertanyaannya adalah$0$.

Kami selalu perlu menentukan distribusi probabilitas. Jika kami bermaksud memasukkan bola ke dalam tas secara seragam dan mandiri, kami harus mengatakannya (meskipun itu adalah tebakan terbaik saya terkait niat penulisnya).