Apa perbedaan antara Path $\infty$-groupoid dan Fundamental Halus $\infty$-groupoid dari ruang halus?

Question

Beberapa hari yang lalu saya mengajukan pertanyaan Apakah ada versi Geometris / Halus dari Hipotesis Homotopy menggunakan jalur$\infty$-Groupoid dari Ruang Halus? dalam MO tentang adanya kemungkinan versi Smooth / Geometric dari Homotopy Hypothesis menggunakan gagasan Path$\infty$-groupoid dari ruang halus.

Setelah berdiskusi di bagian komentar dengan @David Roberts, saya mendapat perasaan (tetapi tidak sepenuhnya yakin) bahwa meskipun Jalur 1-groupoid dan dasar halus 1-groupoid dari ruang mulus adalah objek yang sangat berbeda tetapi "jika kita naik ke tingkat tak terhingga" dan menampilkannya sebagai Kompleks Kan, lalu mereka menjadi objek yang sama.

3 bulan yang lalu saya menanyakan pertanyaan MO berikut Apa realisasi geometris dari saraf groupoid fundamental sebuah ruang? .

Dari diskusi di

1. Apakah ada versi Geometris / Halus dari Hipotesis Homotopy menggunakan jalur $\infty$-Groupoid dari Ruang Halus?

2. Apa realisasi geometris dari saraf groupoid fundamental sebuah ruang?

sekarang saya memiliki Pertanyaan / Keraguan berikut:

Kita tahu bahwa konstruksi Smooth Fundamental 1-Groupoid dan Path 1-Groupoid dari ruang yang mulus menyebabkan fungsi alami. $Man \rightarrow Groupoids$. Sekarang dari pembahasan di Apa realisasi geometris dari saraf groupoid fundamental sebuah ruang? saya mengharapkan itu$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ berisi semua informasi dari kelompok Homotopy pertama dari ruang halus $X$ dimana $N$adalah fungsi saraf ,$\pi_{\leq 1}$adalah Functor 1-Groupoid Fundamental Halus dan$|-|$adalah Functor realisasi geometris . Sekarang kita dapat mengulangi prosedur yang sama dengan Path 1-Groupoid functor$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.

Pertanyaan saya adalah sebagai berikut:

1. Adalah $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$? (dimana "$=$"dalam arti yang tepat)

2. Apakah ada cara untuk menyajikan Jalan $\infty$-groupoid dari ruang halus sehingga berbeda dari Dasar Halus $\infty$-groupoid dari ruang? (Agar sesuai dengan intuisi kita$n=1$ kasus)

(Oleh "$n$"Maksudku" Groupoids di level 1 ").

Answer 1

Saya hanya bisa menjawab pertanyaan pertama Anda, dan jawabannya tidak. Ambil contoh$X=\mathbb{R}^2$, sehingga groupoid fundamental itu sepele, tetapi groupoid jalur berisi panah berbeda yang diwakili oleh lingkaran dari setiap jari-jari positif melewati titik dasar tetap (dan banyak lagi selain itu). Ini mengabaikan semua pertanyaan tentang topologi atau struktur halus pada kumpulan panah, yang menurut saya merupakan maksud Anda. Dan realisasi geometris dari saraf-saraf ini bahkan tidak bisa setara dengan homotopi lemah, karena salah satunya dapat dikontrak dan yang satu memiliki kelompok fundamental yang bahkan tidak dihasilkan secara terbatas.