Apa saja matriks dalam POVM untuk pengukuran pertama $m$ qubit?

Question

Misalkan Anda memiliki status kuantum $|w\rangle$ yang terdiri dari $m + n$ qubit, dan Anda menyiapkan pengukuran yang mengukur yang pertama $m$qubit dalam basis standar. Apa matriks dalam POVM yang sesuai?

Answer 1

Nah, karena ini adalah pengukuran proyektif pada subruang yang pertama $m$ qubit, kita cukup mencantumkan semua proyektor berdasarkan komputasi subruang pertama ini dan 'pad' dengan $I$ada di subruang kedua:

$$ P_{j} = |j\rangle\langle j|_{m} \otimes I_{|n|},\,\,\, \forall j \in \{0,1\}^{m}, $$ yang memberi dengan tepat $|\{0,1\}^{m}| = 2^{m}$operator yang berbeda untuk POVM. Jika Anda mengidentifikasi hasil pengukuran yang berbeda dengan setiap operator, katakanlah$\lambda_{j} = j_{d}$ (misalnya $j$ dalam bentuk desimal), Anda juga dapat dengan mudah menuliskan operator pengukuran:

$$ M = \sum_{j} \lambda_{j}P_{j} = \sum_{j} j_{d}|j\rangle \langle j \otimes I_{n}| $$

Lihat juga, misalnya, jawaban bagus dari Daftwullie ini untuk operator pengukuran yang berbeda. Perhatikan bahwa jawaban itu menghilangkan subruang ekstra dari$n$, tapi Anda bisa mengatasinya dengan melapisinya $I$lagi.