Apa yang terjadi dengan energi keadaan terikat di sumur persegi tak terbatas jika kita meletakkan langkah potensial kecil di tengah?

Question

Saya bertanya-tanya bagaimana (secara kualitatif) energi keadaan terikat dalam sumur persegi tak terbatas dengan langkah potensial kecil di tengah berubah jika kita mengubah langkah potensial itu. Masalahnya sebenarnya sangat mirip dengan posting ini , tetapi saya secara khusus ingin tahu bagaimana celah antara energi berubah, jika kita mengubah tinggi atau lebar langkah potensial.

Saya mencoba menemukan rumus untuk energi dengan menyelesaikan masalah waktu independen, tetapi tidak dapat menemukan solusi yang jelas (ini lebih terlihat seperti persamaan transendantal tetapi saya mungkin telah membuat beberapa kesalahan).

Answer 1

Pemecahan energi sistem ini secara analitis melibatkan penyelesaian persamaan trancendental secara numerik, jika memori berfungsi. Tidak ada yang salah dengan itu, tetapi mungkin agak sulit untuk melihat dengan jelas pengaruh berbagai parameter pada hasil.

Pendekatan yang berbeda adalah menangani masalah ini dengan teori perturbasi. Karena Anda mengasumsikan bahwa tinggi anak tangga kecil$^\dagger$, awal yang baik adalah menghitung koreksi urutan pertama ke nilai eigen energi.

Secara eksplisit, biarkan Hamiltonian Anda $$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \lambda V(x), \qquad V(x)=\cases{1 & $x \ di \ kiri [\ frac {L} {2} - \ frac {a} {2}, \ frac {L} {2} + \ frac {a} {2} \ kanan]$\\0 & else}$$

Ini adalah Hamiltonian untuk sumur potensial tak hingga dengan langkah lebar potensial $a$ dan tinggi $\lambda$berada di tengah. Untuk urutan pertama$\lambda$, energi yang dikoreksi itu sederhana $$E_n \simeq E_n^{(0)}+ \lambda \left<\psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_n^{(0)}\right> = E_n^{(0)} + \lambda \int_{L/2-a/2}^{L/2+a/2}\psi_n^{(0)*}\psi_n^{(0)} dx$$ dimana $E_n^{(0)}$ dan $\psi_n^{(0)}$adalah energi yang tidak dikoreksi dan vektor eigen (dinormalisasi). Kita sudah tahu apa itu dari solusi dasar sumur potensial tak hingga, jadi dengan mengevaluasi integral itu Anda dapat melihat bagaimana energi itu akan berubah ketika Anda memperkenalkan langkah - setidaknya selama tinggi langkah kecil.

---

$^\dagger$Apa artinya bagi operator menjadi kecil bisa menjadi masalah kecil. Dalam hal ini, kami menginginkannya$\lambda$menjadi jauh lebih kecil daripada nilai yang diharapkan dari Hamiltonian yang tidak terusik di negara bagian mana pun. Dalam hal ini, itu akan tercapai jika

$$\lambda \ll \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$

Jika $\lambda$ melebihi batas ini, maka koreksi orde pertama tidak lagi menjadi perkiraan yang baik tentang bagaimana energi akan berubah.