Apakah ada semigroup terbatas dari tipe ini yang monoid kiri?

Question

Membiarkan $(S, \cdot, e)$ menjadi semigroup $(S, \cdot)$ dengan operasi biner $e$ di mana identitasnya $e(x, y)\cdot x\approx x$ dan $e(x, y)\approx e(y, x)$ memegang.

Dalam pertanyaan ini saya bertanya apakah ada semigroup seperti itu yang merupakan monoid kiri. Teladan yang diberikan kepada saya oleh J.-E. Pin menunjukkan bahwa ini tidak benar. Jelas,$(\mathbb{Z}, \min, \max)$ bukan monoid kiri tetapi memenuhi identitas itu.

Sebuah monoid kiri adalah semigroup dengan identitas kiri.

Karena saya tidak dapat menemukan semigroup terbatas seperti ini yang tidak akan menjadi monoid kiri, dan saya sudah mencoba memeriksa semigroup pesanan GAP $\leq 4$, Saya menduga semua semigroup hingga bentuk ini dibiarkan monoid karena beberapa alasan kombinatorial.

Sayangnya, saya tidak yakin bagaimana mendapatkan semua pesanan semigroup, katakanlah, $\leq 7$, yang tidak akan menjadi monoid dan menjadi semigroup lwr, selain mengambil semua semigroup yang tidak monogenik atau monoid menggunakan paket Smallsemi dari GAP dan memeriksa apakah mereka dalam bentuk ini dengan tangan dengan membuat tabel perkalian. Seperti yang bisa Anda bayangkan, ini sangat membosankan.

Apakah terdapat semigroup terbatas dari bentuk ini, bukan monoid kiri, dan jika ya, dapatkah Anda memberikan contoh urutan terkecil?

Answer 1

Semigroup terbatas tidak kosong $S$jenis ini memiliki identitas kiri. Pertama, amati itu untuk semua$x, y \in S$, $$ (1) \quad e(x,y)x = x \text{ and } e(x,y)y = e(y,x)y = y. $$ Sejak $S$ terbatas, itu berisi idempoten $x_0$. Membiarkan$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ dan biarkan $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ menjadi urutan elemen $S$ didefinisikan oleh $a_0 = x_0$ dan untuk $1 \leqslant i \leqslant n$, $a_i = e(a_{i-1},x_i)$.

Klaim :$a_n$ adalah identitas kiri dari $S$.

Pertama amati itu, untuk $1 \leqslant i \leqslant n$, \begin{align} &(2) \quad& a_ia_{i-1} &= e(a_{i-1},x_i)a_{i-1} = a_{i-1} \\ &(3) \quad& a_ix_i &= e(a_{i-1},x_i)x_i = x_i \end{align} Sekarang mari kita buktikan dengan induksi $k = i+j$ itu, untuk $0 \leqslant i \leqslant j$, $$ (4) \quad a_jx_i = x_i. $$ Jika $k = 0$, kemudian $i = j = 0$ dan $a_0x_0 = x_0$ sejak $x_0$idempoten. Misalkan (4) berlaku untuk$i + j \leqslant k$ dan anggaplah itu $i + j = k+1$. Jika$i = j$, kemudian (4) mengikuti dari (3). Jika sekarang$i \leqslant j-1$, kemudian $a_{j-1}x_i = x_i$dengan hipotesis induksi. Ini diikuti oleh (2) itu$$ a_jx_i = a_j(a_{j-1}x_i) = (a_ja_{j-1})x_i = a_{j-1}x_i = x_i. $$ Ini membuktikan klaim dan menyimpulkan buktinya.