Apakah HANYA elips yang memiliki properti ini?
Dua garis sejajar bersinggungan dengan elips. Di antara dua garis tersebut, setiap garis yang sejajar dengan kedua garis tersebut memotong elips dalam dua titik.
Titik tengah yang tepat antara kedua titik tersebut terletak persis pada garis yang menghubungkan kedua titik singgung tersebut.
Pertanyaan saya di sini adalah apakah proposisi terakhir itu benar untuk setiap pasangan garis singgung paralel hanya untuk elips dan tidak ada bentuk lain.
PS: Untuk tujuan sekarang, mari kita definisikan "singgung" sebagai "menyentuh tapi tidak melewati batas". Kemudian garis miring melalui sudut persegi panjang adalah "garis singgung", dan kita melihat bahwa persegi panjang BUKAN contoh dari bentuk lain dengan properti yang diinginkan.
PPS: ok, mari kita perbaiki pernyataan masalahnya sedikit. Pertimbangkan himpunan berbatas tertutup dengan interior yang tidak kosong di pesawat. Misalkan itu sangat cembung, yaitu setiap titik di antara dua titiknya adalah salah satu titik interiornya. Ini mensyaratkan bahwa garis yang memotong batasnya tetapi bukan bagian dalamnya yang memotongnya hanya pada satu titik. Sebut garis seperti itu sebagai garis singgung. Oleh karena itu, untuk setiap garis singgung, ada tepat satu garis singgung lainnya yang sejajar dengannya. Misalkan untuk setiap garis sejajar dengan dua garis tersebut dan di antara keduanya, titik tengah perpotongan garis tersebut dengan himpunan cembung batas tertutup kita berada pada garis yang menghubungkan dua titik singgung.
Apakah itu berarti himpunan dibatasi tertutup kita adalah cembung lambung elips?
Jawaban
Setiap kurva tertutup cembung yang dapat dibedakan sebagian dengan properti tangen yang diberikan adalah elips.
Bukti : Masalahnya adalah affine, dalam arti bahwa jika sebuah kurva memiliki properti tertentu maka begitu juga dengan transformasi affine apa pun darinya. Jadi, dimulai dengan sepasang garis singgung pada bagian terlebar dari kurva, gunakan rotasi untuk membuat garis singgung vertikal dan geser untuk membawa kurva ke $\mathcal{C}$ yang garis simetri adalah $x$-sumbu.
Sekarang ambil pasangan garis singgung horizontal $\mathcal{C}$, bertemu di dua titik satu secara vertikal di atas yang lain. Terjemahkan sehingga garis vertikal ini adalah$y$sumbu. Kemudian $\mathcal{C}$ simetris tentang keduanya $x$ dan $y$sumbu. Melakukan penskalaan di sepanjang sumbu ini membawa intersep mereka ke$1$. Setiap titik lainnya memiliki radius paling banyak$1$, dengan cara memilih garis singgung asli.
Proposisi 1. $\mathcal{C}$ seimbang, yaitu $x\in \mathcal{C}\implies -x\in\mathcal{C}$.
Ini mengikuti langsung dari simetri di sepanjang dua sumbu tegak lurus.
Oleh karena itu, diberikan pasangan garis singgung, garis yang menghubungkan titik-titik kontak melewati titik asal.
Proposisi 2. Kurva dapat dibedakan.
Bergabunglah dengan sudut yang berlawanan dengan garis melalui asal. Kemudian$\mathcal{C}$ akan memiliki jarak yang sama dari garis ini sepanjang dua set garis paralel, yang memberikan kontradiksi.
$\hspace{4cm}$
Proposisi 3. Semua poin tentang $\mathcal{C}$ dengan radius $1$ memiliki garis singgung tegak lurus.
Sebuah titik dengan radius maksimum $r(\theta)=1$ harus punya $r'=0$.
Proposisi 4. Jika $OA$ dan $OB$ memiliki jari-jari $1$ begitu pula dengan garis bagi sudut mereka $OC$.
Garis singgung sejajar dengan $AB$ menyentuh kurva di beberapa titik $C$. Garis$OC$ pemotongan $AB$ setengahnya dengan hipotesis dan dengan demikian merupakan median dan garis-bagi sudut $AOB$, dan tegak lurus dengan $AB$. Jadi$\mathcal{C}$ simetris tentang $OC$ dan garis singgung di $C$ tegak lurus dengan $OC$.
$\hspace{3cm}$
Biarkan tangen di $C$ memenuhi garis singgung di $A$ pada intinya $P$. Pertimbangkan garis singgung sejajar dengan$AC$ dan garis $Q'OQ$bergabung dengan garis singgung yang berlawanan. Garis ini melewati titik tengah$AC$dengan hipotesis. Dalam batas, poin terdekat$A'$ di $AP$ dan $C'$ di $CP$ dengan $A'C'$ sejajar dengan $AC$ juga dibelah dua oleh $OQ$ sejak $AP$ dan $CP$ bersinggungan dengan $\mathcal{C}$. Tapi ini artinya$OQ$ adalah median dari $APC$, dan dengan demikian $Q$ aktif $OP$. Sejak$OAPC$ adalah segiempat siklik dengan diameter $OP$, akord yang dibelah dua $AC$ tegak lurus dengan $OP$ sehingga $OC=OA=1$.
Proposisi 5. $\mathcal{C}$ adalah sebuah lingkaran.
Sejak $x$ dan $y$ penyadapan memiliki radius $1$, seseorang dapat terus mengambil garis-garis sudut, membentuk sekumpulan titik radius yang padat $1$. Secara kontinuitas, semua titik memiliki radius yang sama.
Karenanya kurva aslinya adalah transformasi affine dari sebuah lingkaran, yaitu elips.