Apakah integrasi didefinisikan dengan baik pada polinomial dalam lingkaran?

Question

Saya ingin melihat apakah ada peta yang terdefinisi dengan baik$$\int_0^\theta\text{d}\theta:\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}\rightarrow\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}.$$Saya memulai studi saya tentang geometri aljabar dan saya menemukan ini membingungkan. Ini terkait dengan pos lain Koordinat kutub untuk polinomial pada lingkaran .

Saya telah mencoba masuk ke koordinat kutub tetapi tidak ada ekspresi sederhana untuk integral dari bentuk$$\int_0^\theta \text{d}\theta\,\cos(\theta)^n\sin(\theta)^m.$$Di sisi lain, dalam koordinat kompleks satu memiliki$$\int_\mathcal{C}\text{d}z\,z^n\bar{z}^m=\begin{cases}i r^{n+m}\theta, & 1+n-m=0\\ \frac{z^{n+1/2}\bar{z}^{m-1/2}-(z\bar{z})^{(n+m)/2}}{1+n+m},&\text{otherwise.}\end{cases}$$Disini$\mathcal{C}$adalah busur dalam lingkaran dengan jari-jari$r$di antara$0$dan$\theta$. Jadi, dalam$\mathbb{C}[z,\bar{z}]$ini bahkan tampaknya tidak terdefinisi dengan baik. Misalnya, dalam kasus$1+n-m=0$itu bahkan tidak menghasilkan fungsi.

Answer 1

Setidaknya itu menginduksi operator yang terdefinisi dengan baik pada beberapa polinomial. Kuncinya adalah saya melakukan perhitungan dalam koordinat kutub yang salah. Perhitungan yang relevan adalah$$\int_0^\theta\text{d}\theta\,z^n\bar{z}^m=\frac{z^n\bar{z}^m}{i(n-m)}\in\mathbb{C}[z,\bar{z}],$$selama$n\neq m$. Karena mengambil bagian real dari bilangan kompleks adalah linier dan setiap polinomial real dapat diperoleh dengan mengambil bagian real dari bilangan kompleks, ini membuktikan apa yang kita butuhkan. masalah dari$n\neq m$dalam perhitungan di atas diselesaikan karena pada lingkaran polinomial$z^n\bar{z}^n$berada di kelas kesetaraan yang sama dari$1$.