Apakah kategori functor dengan codomain yang ditriangulasi itu sendiri ditriangulasi?
Saya cukup yakin bahwa pernyataan berikut ini benar (tetapi saya akan mengakui bahwa saya belum memverifikasi aksioma oktahedral):
Membiarkan $T$ menjadi kategori triangulasi dan $C$kategori apa pun (katakanlah kecil untuk menghindari mengkhawatirkan teman-teman ahli teori set saya). Kemudian, kategori para functor$C \to T$ mewarisi struktur triangulasi alami dari T.
Dengan "alami" dan "mewarisi" yang saya maksud adalah peta pergeseran $[1]$ pada kategori functor kami mengirimkan masing-masing $F:C \to T$ ke functor $F[1]$ memuaskan $F[1](c) = F(c)[1]$ pada setiap objek $c$ dari $C$; dan demikian pula, segitiga fungsi yang berbeda$$F \to G \to H \to F[1]$$ adalah yang tepat untuk setiap objek $c$ dari $C$ kami memiliki segitiga dibedakan di $T$ dari bentuk $$F(c) \to G(c) \to H(c) \to F[1](c).$$
Pertanyaan utamanya adalah apakah ini telah ditulis di beberapa buku atau makalah standar (saya tidak dapat menemukannya di Gelfand-Manin misalnya). Mungkin itu dianggap terlalu jelas dan diturunkan ke latihan dasar. Sebagian besar, saya tertarik untuk mewarisi struktur-t dan hati dari$T$ ke kategori functor $C \to T$, dan sangat menghargai referensi yang tersedia yang berhubungan dengan masalah tersebut.
Jawaban
Pernyataan itu salah.
Misalnya, ambil $C=[1]\times [1]$ menjadi persegi dan $\mathcal{T} = h\mathsf{Sp}$menjadi kategori spektrum homotopi. Sekarang perhatikan persegi$X$ dengan $X(0,0) = S^2$, $X(1,0) = S^1$, dan nilai lainnya nol, dan kuadrat lainnya $Y$ dengan $Y(1,0) = S^1$ dan $Y(1,1) = S^0$. Ambil petanya$S^2 \to S^1$ dan $S^1 \to S^0$ menjadi $\eta$, dan pertimbangkan transformasi alam $X \to Y$ yang diberikan dengan perkalian 2 $X(1,0)=S^1 \to S^1 = Y(1,0)$.
Jika peta ini memiliki serat optik, maka dari simpul awal hingga akhir kita akan mendapatkan sebuah peta $S^3 \to S^0$. Mengikuti arah persegi satu, kami melihat bahwa kami akan memiliki beberapa perwakilan untuk braket Toda$\langle \eta, 2, \eta\rangle$. Mengikuti arah lain, kami memfaktorkan hingga nol. Tapi braket Toda ini terdiri dari kelas-kelas$2\nu$ dan $-2\nu$; khususnya, tidak mengandung nol.
[Tentu saja, contoh ini dapat digeneralisasikan ke braket Toda non-trivial / produk Massey dalam kategori triangulasi yang lebih Anda kenal.]
Memang, braket Toda adalah penghalang untuk 'mengisi kubus' untuk transformasi alami $X \to Y$.
Bagaimanapun- ini adalah salah satu dari banyak alasan untuk membatalkan kategori triangulasi demi salah satu dari banyak alternatif modern (misalnya stabil $\infty$-kategori, turunan, dll.).
Adapun t-struktur dan sebagainya, di tanah kandang $\infty$-kategori ini mudah didapat. (Lihat, misalnya, Aljabar Tinggi bagian 1.2.1 dan Proposisi 1.4.4.11 untuk berbagai trik untuk membangunnya.)
Teladan Dylan Wilson sangat bagus. Izinkan saya menawarkan satu sama lain, dengan rasa yang lebih aljabar dan "finitistik".
Menurut pendapat saya, kategori triangulasi paling sederhana $\mathcal{T}$ adalah kategori ruang vektor berdimensi-hingga di atas suatu bidang $k$, dengan penangguhan identitas (alias terjemahan) functor dan $3$urutan tepat panjang -periodik sebagai segitiga tepat. (Ini sebenarnya satu-satunya struktur triangulasi yang dibawa oleh$\mathcal{T}$ hingga kesetaraan.)
Membiarkan $C_2$ menjadi kelompok urutan siklik $2$(dianggap sebagai kategori dengan hanya satu objek). Kemudian kategori functor$\mathcal{T}^{C_2}$ adalah kategori modul yang dihasilkan tanpa batas di atas aljabar grup $k[C_2]$. Ini sama dengan kategori modul proyektif yang dihasilkan tanpa batas atas apa yang disebut aljabar Auslander$B$ dari $k[C_2]$. Akibatnya Freyd, jika$\mathcal{T}^{C_2}$ kemudian ditriangulasi $B$ akan menginjeksi diri sendiri.
Jika $k$ memiliki ciri khas $2$, $k[C_2]\cong k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ adalah aljabar bilangan ganda dan $B$ adalah aljabar endomorfisme dari $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$-modul $k\oplus k[\epsilon]/(\epsilon^2)$. Ini$B$tidak menginjeksi diri sendiri. Memang, sejak itu$k$ memiliki ciri khas $2$, $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ tidak semi-sederhana, jadi $B$ memiliki dimensi global $2$. Jika$B$ menginjeksi diri sendiri, hal itu juga akan memiliki dimensi global $0$ atau $\infty$.
Saya yakin saya memiliki counterexample yang lebih sederhana, yang saya pelajari dari kursus Paul Balmer tentang geometri tensor-segitiga musim semi lalu:
Klaim Kategori panah$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ dari kategori triangulasi $\mathcal{T}$ tidak pernah memiliki struktur triangulasi kecuali$\mathcal{T} = 0$. Sebenarnya, kami bahkan tidak membutuhkannya$\mathcal{T}$ untuk ditriangulasi di sini: jika $\mathcal{T}$ adalah kategori aditif yang sedemikian rupa $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ ditriangulasi, lalu $\mathcal{T} = 0$.
Bukti: Misalkan$\mathcal{T}$ adalah kategori aditif sedemikian rupa $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ditriangulasi. Membiarkan$a$ menjadi objek sewenang-wenang di $\mathcal{T}$, dengan morfisme identitas $1_a : a \to a$. Membiarkan$t$ menunjukkan morfisme unik $a \to 0$. Kemudian$\require{AMScd}$ \ begin {CD} a @> 1_a >> a \\ @V 1_a VV @VV t V \\ a @ >> t> 0 \ end {CD} mendefinisikan morfisme$\alpha : 1_a \to t$ di $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$. Catat itu$\alpha$adalah epimorfisme. Dalam kategori triangulasi apa pun, semua epimorfisme dipisahkan, jadi biarkan$\beta : t \to 1_a$ menjadi pemisahan $\alpha$ (itu adalah, $\alpha \circ \beta$ adalah morfisme identitas $t$). Kemudian$\beta$adalah diagram komutatif \ begin {CD} a @> t >> 0 \\ @V f VV @VVs V \\ a @ >> 1_a> a \ end {CD} sedemikian rupa sehingga$1_a \circ f = 1_a$ (dan $t \circ s = 1_0$). Dari ini dan komutatifitas diagram, kita melihatnya$1_a = 1_a \circ f = s \circ t$ faktor melalui $0$. Jadi,$a = 0$. Sejak$a$ sewenang-wenang, $\mathcal{T} = 0$.
Sunting: Tentu saja kita bisa membuat pernyataan lebih lemah: kita hanya benar-benar membutuhkan itu $\mathcal{T}$memiliki objek nol. Tapi jika$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ ditriangulasi, lalu $\mathcal{T}$ harus aditif, karena ini disematkan sebagai subkategori aditif dari $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ melalui $a \mapsto 1_a$.